0 четное число егэ

В разделе гуманитарные науки на вопрос ноль -четное или нечетное? и почему заданный автором катерина лучший ответ это чтность в

В разделе Гуманитарные науки
на вопрос Ноль -четное или нечетное? И почему заданный автором КАТЕРИНА
лучший ответ это Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, -8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1,3, 75, -19). Нуль считается чётным числом.
Чётное число — целое число, которое делится на 2 без остатка: …−4,-2,0,2,4,6,8…
Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка: …−3,−1,1,3,5,7,9…
Иными словами, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов и по модулю 2.

Ответ от Валентина Дубковская
[гуру]
Четное. Потому что на 2 делится.

Ответ от Ёофья Ерина
[гуру]
Да. Но мат-ка, между прочим, точная наука, а не гуманитарная!

Ответ от Пользователь удален
[гуру]
Все четные числа делятся на 2, в том числе и 0.

Ответ от James Lukash
[гуру]
Видимо, нуль все-таки четное число, если вики так говорит на пару с БСЭ, хотя я считал, что нуль стоит особняком от всего остального числового ряда и не является ни четным, ни нечетным

Ответ от Л
[активный]
ноль абсолютное и самодостаточное. нах его делить?

Ответ от Ёергей Сергеев
[активный]
Ваще, по моему, ноль это не число и то, что выбран раздел гуманитарных наук — эо верно. Ноль — это понятие, определение и то, что он делится на 2 ни о чем не говорит. Ноль — это таже бесконечность, только наоборот. И размышлять на эту тему можно бесконечно. А если кому-то охота, то может поискать мои «Размышления о вечности», да в инете меня Гринго зовут

Ответ от Данил «stager» Воронов
[активный]
Соня Ерина Меню пользователя Знаток (307)1 минуту назад (ссылка)ПожаловатьсяПожаловатьсяДа. Но мат-ка, между прочим, точная наука, а не гуманитарная!о_0

Определения

  • Чётное число
    — целое число, которое делится
    без остатка на 2: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …
  • Нечётное число
    — целое число, которое не делится
    без остатка на 2: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

В соответствии с этим определением нуль является чётным числом.

Если m
чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции.

В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше ), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли.

Например, вполне допустимо подарить юной даме букет из 12 или 14 цветов или срезов кустового цветка, если они имеют множество бутонов , у которых они, в принципе, не подсчитываются.
Тем более это относится к б́ольшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

Примечания

Wikimedia Foundation
.
2010
.

  • Маарду
  • Сверхпроводимость

Смотреть что такое «Чётные и нечётные числа» в других словарях:

    Нечётные числа

    Чётные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Нечётное
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Нечётное число
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Нечетные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Четные и нечетные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Четные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Слегка избыточные числа
    — Слегка избыточное число, или квазисовершенное число избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора,… … Википедия

    Совершенные числа
    — целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = 1+2+3 и 28 = 1+2+4+7+14 являются совершенными. Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные С. ч. можно… …

    Квантовые числа
    — целые (0, 1, 2,…) или полуцелые (1/2, 3/2, 5/2,…) числа, определяющие возможные дискретные значения физических величин, которые характеризуют квантовые системы (атомное ядро, атом, молекулу) и отдельные элементарные частицы.… … Большая советская энциклопедия

Книги

  • Математические лабиринты и ребусы, 20 карточек , Барчан Татьяна Александровна, Самоделко Анна. В наборе: 10 ребусов и 10 математических лабиринтов на темы: — Числовой ряд; — Чётные и нечётные числа; — Состав числа; — Счёт парами; — Упражнения на сложение и вычитание. В комплекте 20…

Признак чётности

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра
является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42
, 104
, 11110
, 9115817342
— чётные числа.
31
, 703
, 78527
, 2356895125
— нечётные числа.

Арифметика

  • Сложение и вычитание:
    • Ч
      ётное ± Ч
      ётное = Ч
      ётное
    • Ч
      ётное ± Н
      ечётное = Н
      ечётное
    • Н
      ечётное ± Ч
      ётное = Н
      ечётное
    • Н
      ечётное ± Н
      ечётное = Ч
      ётное
  • Умножение:
    • Ч
      ётное × Ч
      ётное = Ч
      ётное
    • Ч
      ётное × Н
      ечётное = Ч
      ётное
    • Н
      ечётное × Н
      ечётное = Н
      ечётное
  • Деление:
    • Ч
      ётное / Ч
      ётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число , то оно может быть как чётным, так и нечётным)
    • Ч
      ётное / Н
      ечётное = если результат целое число , то оно Ч
      ётное
    • Н
      ечётное / Ч
      ётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
    • Н
      ечётное / Н
      ечётное = если результат целое число , то оно Н
      ечётное

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь , а чётные — Ян .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США , Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье . В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

Примечания

Wikimedia Foundation
.
2010
.

  • Нечетность
  • Нечетные и четные функции

Смотреть что такое «Нечетные числа» в других словарях:

    Четные и нечетные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Числа
    — Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число есть фундаментальный принцип, лежащий в основе мира вещей. Оно начало всех вещей и той гармонии вселенной, стоящей за их внешней связью. Число это основной принцип… … Словарь символов

    ЧИСЛА
    — ♠ Значение сна зависит от того, где именно и в каком виде вы видели приснившееся вам число, а также от его значения. Если число было в календаре это предупреждение о том, что в этот день вас ждет важное событие, которое перевернет всю вашу… … Большой семейный сонник

    КОРЕНЬ ЧИСЛА
    — (root of number) Число х, чье значение в степени r равно у. Если у=хr, то х – корень r – степени от у. Например, в уравнении у=х2, х является квадратным корнем из у, и записывается следующим образом: x=√ y=y1/2; если z=x3, то х – кубический… … Экономический словарь

    Пифагор и пифагорейцы
    — Пифагор родился на Самосе. Расцвет его жизни приходится на 530 е годы до н.э., а смерть на начало V в. до н.э. Диоген Лаэртский, один из известных биографов античных философов, сообщает нам: Молодой и жадный до знаний, он покинул отечество,… … Западная философия от истоков до наших дней

    сорит
    — (от греч. soros куча) цепь сокращенных силлогизмов, в которых опущена или большая, или меньшая посылка. Различают два вида С.: 1) С., в котором начиная со второго силлогизма в цепи силлогизмов пропускается меньшая посылка; 2) С., в котором… … Словарь терминов логики

    «Сакральный» смысл чисел в верованиях и учениях
    — К материалу «07.07.07. Влюбленные всего мира поверили в магию чисел» С глубокой древности числа играют важную и многогранную роль в жизни человека. Древние люди приписывали им особые, сверхъестественные свойства; одни числа сулили… … Энциклопедия ньюсмейкеров

    НУМЕРОЛОГИЯ
    — и; ж. [лат. numero считаю и греч. logos учение] Учение, основанное на вере в сверхъестественное влияние на судьбу человека, страны и т.п. сочетаний определённых чисел, цифр. ◁ Нумерологический, ая, ое. Н ие предсказания. * * * НУМЕРОЛОГИЯ… … Энциклопедический словарь

    Случайное простое число
    — В криптографии под случайным простым числом понимается простое число, содержащее в двоичной записи заданное количество битов, на алгоритм генерации которого накладываются определенные ограничения. Получение случайных простых чисел является… … Википедия

    Счастливое число
    — В теории чисел счастливое число является натуральным числом множества генерируемое «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа. Начнем со списка целых чисел, начиная с 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,… … Википедия

Книги

  • Занимаюсь математикой. Для детей 6-7 лет , Сорокина Татьяна Владимировна. Основные задачи пособия — ознакомление ребенка с математическими понятиями «слагаемое», «сумма», «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность», «однозначные/двузначные числа», «четные/нечетные…
  • Нечётное число
    — целое число , которое не делится
    на без остатка : …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

Если m
чётно, то оно представимо в виде m = 2 k, а если нечётно, то в виде m = 2 k + 1, где k in mathbb Z.

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь », а нечётные — «ян » .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции. Например в США , Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье . В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше ), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли. Например, вполне допустимо подарить даме букет из 12, 14, 16 и т. д. цветов или срезов кустового цветка, имеющих множество бутонов , у которых они, в принципе, не подсчитываются. Тем более это относится к бо́льшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

Практика

В высших учебных заведениях со сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели. Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки по аудиториям, учебным корпусам и для ритмичности занятий по дисциплинам с малой аудиторной нагрузкой (1 раз в 2 недели)

В графиках движения поездов применяются чётные и нечётные номера поездов, зависящие от направления движения (прямое или обратное). Соответственно чётностью/нечётностью обозначается направление, в котором проходит поезд через каждую станцию.

С чётными и нечётными числами месяца иногда увязаны графики движения поездов, которые организованы через день.

Напишите отзыв о статье «Чётные и нечётные числа»

Примечания

Ссылки

  • Последовательность A005408 в OEIS : нечётные числа
  • Последовательность A005843 в OEIS : чётные числа
  • Последовательность A179082 в OEIS : чётные числа с чётной суммой цифр в десятичной записи

Отрывок, характеризующий Чётные и нечётные числа

– Так, так, – сказал князь Андрей, обращаясь к Алпатычу, – все передай, как я тебе говорил. – И, ни слова не отвечая Бергу, замолкшему подле него, тронул лошадь и поехал в переулок.

От Смоленска войска продолжали отступать. Неприятель шел вслед за ними. 10 го августа полк, которым командовал князь Андрей, проходил по большой дороге, мимо проспекта, ведущего в Лысые Горы. Жара и засуха стояли более трех недель. Каждый день по небу ходили курчавые облака, изредка заслоняя солнце; но к вечеру опять расчищало, и солнце садилось в буровато красную мглу. Только сильная роса ночью освежала землю. Остававшиеся на корню хлеба сгорали и высыпались. Болота пересохли. Скотина ревела от голода, не находя корма по сожженным солнцем лугам. Только по ночам и в лесах пока еще держалась роса, была прохлада. Но по дороге, по большой дороге, по которой шли войска, даже и ночью, даже и по лесам, не было этой прохлады. Роса не заметна была на песочной пыли дороги, встолченной больше чем на четверть аршина. Как только рассветало, начиналось движение. Обозы, артиллерия беззвучно шли по ступицу, а пехота по щиколку в мягкой, душной, не остывшей за ночь, жаркой пыли. Одна часть этой песочной пыли месилась ногами и колесами, другая поднималась и стояла облаком над войском, влипая в глаза, в волоса, в уши, в ноздри и, главное, в легкие людям и животным, двигавшимся по этой дороге. Чем выше поднималось солнце, тем выше поднималось облако пыли, и сквозь эту тонкую, жаркую пыль на солнце, не закрытое облаками, можно было смотреть простым глазом. Солнце представлялось большим багровым шаром. Ветра не было, и люди задыхались в этой неподвижной атмосфере. Люди шли, обвязавши носы и рты платками. Приходя к деревне, все бросалось к колодцам. Дрались за воду и выпивали ее до грязи.
Князь Андрей командовал полком, и устройство полка, благосостояние его людей, необходимость получения и отдачи приказаний занимали его. Пожар Смоленска и оставление его были эпохой для князя Андрея. Новое чувство озлобления против врага заставляло его забывать свое горе. Он весь был предан делам своего полка, он был заботлив о своих людях и офицерах и ласков с ними. В полку его называли наш князь, им гордились и его любили. Но добр и кроток он был только с своими полковыми, с Тимохиным и т. п., с людьми совершенно новыми и в чужой среде, с людьми, которые не могли знать и понимать его прошедшего; но как только он сталкивался с кем нибудь из своих прежних, из штабных, он тотчас опять ощетинивался; делался злобен, насмешлив и презрителен. Все, что связывало его воспоминание с прошедшим, отталкивало его, и потому он старался в отношениях этого прежнего мира только не быть несправедливым и исполнять свой долг.
Правда, все в темном, мрачном свете представлялось князю Андрею – особенно после того, как оставили Смоленск (который, по его понятиям, можно и должно было защищать) 6 го августа, и после того, как отец, больной, должен был бежать в Москву и бросить на расхищение столь любимые, обстроенные и им населенные Лысые Горы; но, несмотря на то, благодаря полку князь Андрей мог думать о другом, совершенно независимом от общих вопросов предмете – о своем полку. 10 го августа колонна, в которой был его полк, поравнялась с Лысыми Горами. Князь Андрей два дня тому назад получил известие, что его отец, сын и сестра уехали в Москву. Хотя князю Андрею и нечего было делать в Лысых Горах, он, с свойственным ему желанием растравить свое горе, решил, что он должен заехать в Лысые Горы.
Он велел оседлать себе лошадь и с перехода поехал верхом в отцовскую деревню, в которой он родился и провел свое детство. Проезжая мимо пруда, на котором всегда десятки баб, переговариваясь, били вальками и полоскали свое белье, князь Андрей заметил, что на пруде никого не было, и оторванный плотик, до половины залитый водой, боком плавал посредине пруда. Князь Андрей подъехал к сторожке. У каменных ворот въезда никого не было, и дверь была отперта. Дорожки сада уже заросли, и телята и лошади ходили по английскому парку. Князь Андрей подъехал к оранжерее; стекла были разбиты, и деревья в кадках некоторые повалены, некоторые засохли. Он окликнул Тараса садовника. Никто не откликнулся. Обогнув оранжерею на выставку, он увидал, что тесовый резной забор весь изломан и фрукты сливы обдерганы с ветками. Старый мужик (князь Андрей видал его у ворот в детстве) сидел и плел лапоть на зеленой скамеечке.
Он был глух и не слыхал подъезда князя Андрея. Он сидел на лавке, на которой любил сиживать старый князь, и около него было развешено лычко на сучках обломанной и засохшей магнолии.
Князь Андрей подъехал к дому. Несколько лип в старом саду были срублены, одна пегая с жеребенком лошадь ходила перед самым домом между розанами. Дом был заколочен ставнями. Одно окно внизу было открыто. Дворовый мальчик, увидав князя Андрея, вбежал в дом.
Алпатыч, услав семью, один оставался в Лысых Горах; он сидел дома и читал Жития. Узнав о приезде князя Андрея, он, с очками на носу, застегиваясь, вышел из дома, поспешно подошел к князю и, ничего не говоря, заплакал, целуя князя Андрея в коленку.

Чётность нуля
— вопрос, считать ли ноль чётным или нечётным числом . Ноль — чётное число . Однако чётность нуля вызывает сомнения в среде людей, недостаточно знакомых с математикой. Большинство людей задумываются дольше, прежде чем идентифицировать 0 как чётное число, по сравнению с идентификацией обычных чисел вроде 2, 4, 6 или 8. Некоторые студенты, изучающие математику, и даже некоторые преподаватели, ошибочно считают ноль нечётным числом, или чётным и нечётным одновременно, или не относят его ни к одной категории.

По определению, чётное число — такое целое число , которое делится на без остатка. Ноль обладает всеми свойствами, которые присущи чётным числам, например, 0 с обеих сторон граничит с нечетными числами, каждое десятичное целое число имеет такую же чётность, как и последняя цифра этого числа, поэтому, поскольку 10 является чётным, то 0 также будет чётным. Если
y
{displaystyle y}

является четным числом, тогда
y
+
x
{displaystyle y+x}
имеет такую чётность, что имеет
x
{displaystyle x}

, а
x
{displaystyle x}

и
0
+
x
{displaystyle 0+x}
всегда имеют одинаковую чётность.

Ноль также соответствует закономерностям, которые образуют другие чётные числа. Правила чётности в арифметике, такие как чётное−чётное=чётное
, предполагают, что 0 также должно быть чётным числом. Ноль является аддитивным нейтральным элементом группы чётных чисел, и он является началом, с которого рекурсивно определены другие чётные натуральные числа . Применение такой рекурсии по теории графов к вычислительной геометрии полагается на то, что ноль является чётным. Ноль делится не только на 2, он делится на все степени двойки. В этом смысле, 0 является «наиболее чётным» числом из всех чисел.

Почему ноль является чётным

Чтобы доказать, что ноль является чётным, можно непосредственно использовать стандартное определение «чётного числа». Число называют чётным, если это число кратно 2. Например, причиной того, что число 10 является чётным, является то, что оно равно 5 × 2
. В то же время, ноль также является целым кратным 2, то есть 0 × 2
, следовательно ноль является чётным .

Кроме того, можно объяснить, почему ноль является чётным, не применяя формальных определений.

Простые объяснения

Числа можно изобразить с помощью точек на числовой оси . Если на ней нанести чётные и нечётные числа, их общая закономерность становится очевидной, особенно если добавить и отрицательные числа:

Чётные и нечётные числа чередуются между собой. Нет причины пропустить число ноль .

Математический контекст

Численные результаты теории обращаются к основной теореме арифметики и алгебраическим свойствам чётных чисел, поэтому вышеупомянутая конвенция имеет далеко идущие последствия. Например, факт, что положительные числа имеют уникальную факторизацию , означает, что для отдельного числа можно определить, имеет ли оно чётное или нечётное количество различных простых множителей. Поскольку 1 не является простым числом, а также не имеет простых множителей, оно является пустым произведением простых чисел; поскольку 0 — чётное число, 1 имеет чётное количество простых множителей. Из этого следует, что функция Мёбиуса принимает значение μ (1) = 1, что необходимо, чтобы она была мультипликативной функцией и работала формула вращения Мёбиуса .

В образовании

Вопрос, является ли ноль чётным числом, поднимался в системе школьного образования Великобритании. Проводились многочисленные опросы мнения школьников по данному вопросу. Выяснилось, что ученики по-разному оценивают чётность нуля: некоторые считают его чётным, некоторые — нечётным, иные полагают, что он является особым числом — и тем и другим одновременно или ни тем ни другим. Причём ученики пятых классов дают правильный ответ чаще, чем ученики шестых классов .

Как показали исследования, даже преподаватели в школах и вузах недостаточно осведомлены о чётности нуля. Так, например, порядка 2/3 преподавателей Университета Южной Флориды ответили «нет» на вопрос «Является ли ноль чётным числом?» .

Примечания

Литература

  • Anderson, Ian (2001), A First Course in Discrete Mathematics
    , London: Springer, ISBN 1-85233-236-0
  • Anderson, Marlow & Feil, Todd (2005), A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields
    , London: CRC Press, ISBN 1-58488-515-7
  • Andrews, Edna (1990), Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language
    , Durham: Duke University Press, ISBN 0-8223-0959-9
  • Arnold, C. L. (January 1919), «The Number Zero «, The Ohio Educational Monthly
    Т. 68 (1): 21–22,
    . Проверено 11 апреля 2010.
  • Arsham, Hossein (January 2002), Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives
    ,
    . Проверено 24 сентября 2007.
    Архивная копия от 25 сентября 2007 на Wayback Machine
  • Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C. & Bass, Hyman (2005), «Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? «, American Educator
    ,
    . Проверено 16 сентября 2007.
  • Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer & Thames, Mark Hoover (2008), «Making mathematics work in school «, Journal for Research in Mathematics Education
    Т. M14: 13–44 and 195–200,
    . Проверено 4 марта 2010.
  • Barbeau, Edward Joseph (2003), Polynomials
    , Springer, ISBN 0-387-40627-1
  • Baroody, Arthur & Coslick, Ronald (1998), Fostering Children»s Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8
    , Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 0-8058-3105-3
  • Berlinghoff, William P.; Grant, Kerry E. & Skrien, Dale (2001), A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts
    (5th rev. ed.), Rowman & Littlefield, ISBN 0-7425-0202-3
  • Border, Kim C. (1985), Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory
    , Cambridge University Press, ISBN 0-521-38808-2
  • Brisman, Andrew (2004), Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways
    , Sterling, ISBN 1-4027-1300-2
  • Bunch, Bryan H. (1982), Mathematical Fallacies and Paradoxes
    , Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5
  • Caldwell, Chris K. & Xiong, Yeng (27 December 2012), «What is the Smallest Prime? «, Journal of Integer Sequences
    Т. 15 (9),
  • Column 8 readers (10 March 2006a), Column 8
    (First ed.), с. 18, Factiva SMHH000020060309e23a00049
  • Column 8 readers (16 March 2006b), Column 8
    (First ed.), с. 20, Factiva SMHH000020060315e23g0004z
  • Crumpacker, Bunny (2007), Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count
    , Macmillan, ISBN 0-312-36005-3
  • Cutler, Thomas J. (2008), The Bluejacket»s Manual: United States Navy
    (Centennial ed.), Naval Institute Press, ISBN 1-55750-221-8
  • Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge & Giraux, Pascal (1993), «The mental representation of parity and numerical magnitude «, Journal of Experimental Psychology: General
    Т. 122 (3): 371–396, doi :10.1037/0096-3445.122.3.371 ,
    . Проверено 13 сентября 2007.
  • Devlin, Keith (April 1985), «The golden age of mathematics», New Scientist
    Т. 106 (1452)
  • Diagram Group (1983), The Official World Encyclopedia of Sports and Games
    , Paddington Press, ISBN 0-448-22202-7
  • Dickerson, David S & Pitman, Damien J (July 2012), Tai-Yih Tso, ed., «Advanced college-level students» categorization and use of mathematical definitions «, Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education
    Т. 2: 187–195,
  • Dummit, David S. & Foote, Richard M. (1999), Abstract Algebra
    (2e ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-36857-1
  • Educational Testing Service (2009), Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test
    , Educational Testing Service,
    . Проверено 6 сентября 2011.
  • Freudenthal, H. (1983), Didactical phenomenology of mathematical structures
    , Dordrecht, The Netherlands: Reidel
  • Frobisher, Len (1999), Anthony Orton, ed., Primary School Children»s Knowledge of Odd and Even Numbers
    , London: Cassell, с. 31–48
  • Gouvêa, Fernando Quadros (1997),
    p-adic numbers: an introduction
    (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4
  • Gowers, Timothy (2002), Mathematics: A Very Short Introduction
    , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-285361-5
  • Graduate Management Admission Council (September 2005), The Official Guide for GMAT Review
    (11th ed.), McLean, VA: Graduate Management Admission Council, ISBN 0-9765709-0-4
  • Grimes, Joseph E. (1975), The Thread of Discourse
    , Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-X
  • Hartsfield, Nora & Ringel, Gerhard (2003), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction
    , Mineola: Courier Dover, ISBN 0-486-43232-7
  • Hill, Heather C.; Blunk, Merrie L.; Charalambous, Charalambos Y. & Lewis, Jennifer M. (2008), «Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study «, Cognition and Instruction
    Т. 26 (4): 430–511, DOI 10.1080/07370000802177235
  • Hohmann, George (25 October 2007), Companies let market determine new name
    , с. P1C, Factiva CGAZ000020071027e3ap0001l
  • Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, 2005 Edition
    , Simon and Schuster, ISBN 0-7432-6035-X
  • Keith, Annie (2006), Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers
    , IAP, ISBN 1-59311-495-8
  • Krantz, Steven George (2001), Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry
    , CRC Press, ISBN 1-58488-052-X
  • Levenson, Esther; Tsamir, Pessia & Tirosh, Dina (2007), «Neither even nor odd: Sixth grade students» dilemmas regarding the parity of zero «, The Journal of Mathematical Behavior
    Т. 26 (2): 83–95, DOI 10.1016/j.jmathb.2007.05.004
  • Lichtenberg, Betty Plunkett (November 1972), «Zero is an even number», The Arithmetic Teacher
    Т. 19 (7): 535–538
  • Lorentz, Richard J. (1994), Recursive Algorithms
    , Intellect Books, ISBN 1-56750-037-4
  • Lovas, William & Pfenning, Frank (22 January 2008), «A Bidirectional Refinement Type System for LF «, Electronic Notes in Theoretical Computer Science
    Т. 196: 113–128, doi :10.1016/j.entcs.2007.09.021 ,
    . Проверено 16 июня 2012.
  • Lovász, László ; Pelikán, József & Vesztergombi, Katalin L. (2003), Discrete Mathematics: Elementary and Beyond
    , Springer, ISBN 0-387-95585-2
  • Morgan, Frank (5 April 2001), Old Coins
    , The Mathematical Association of America,
    . Проверено 22 августа 2009.
  • Nipkow, Tobias; Paulson, Lawrence C. & Wenzel, Markus (2002), Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic
    , Springer, ISBN 3-540-43376-7
  • Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke & Willmes, Klaus (July 2004), «Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect «, The Quarterly Journal of Experimental Psychology A
    Т. 57 (5): 835–863, DOI 10.1080/02724980343000512
  • Partee, Barbara Hall (1978), Fundamentals of Mathematics for Linguistics
    , Dordrecht: D. Reidel,

Определения

  • Чётное число
    — целое число, которое делится
    без остатка на 2: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …
  • Нечётное число
    — целое число, которое не делится
    без остатка на 2: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

В соответствии с этим определением нуль является чётным числом.

Если m
чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции.

В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше ), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли.

Например, вполне допустимо подарить юной даме букет из 12 или 14 цветов или срезов кустового цветка, если они имеют множество бутонов , у которых они, в принципе, не подсчитываются.
Тем более это относится к б́ольшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

Примечания

Wikimedia Foundation
.
2010
.

  • Маарду
  • Сверхпроводимость

Смотреть что такое «Чётные и нечётные числа» в других словарях:

    Нечётные числа

    Чётные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Нечётное
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Нечётное число
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Нечетные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Четные и нечетные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Четные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Слегка избыточные числа
    — Слегка избыточное число, или квазисовершенное число избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора,… … Википедия

    Совершенные числа
    — целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = 1+2+3 и 28 = 1+2+4+7+14 являются совершенными. Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные С. ч. можно… …

    Квантовые числа
    — целые (0, 1, 2,…) или полуцелые (1/2, 3/2, 5/2,…) числа, определяющие возможные дискретные значения физических величин, которые характеризуют квантовые системы (атомное ядро, атом, молекулу) и отдельные элементарные частицы.… … Большая советская энциклопедия

Книги

  • Математические лабиринты и ребусы, 20 карточек , Барчан Татьяна Александровна, Самоделко Анна. В наборе: 10 ребусов и 10 математических лабиринтов на темы: — Числовой ряд; — Чётные и нечётные числа; — Состав числа; — Счёт парами; — Упражнения на сложение и вычитание. В комплекте 20…

Признак чётности

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра
является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42
, 104
, 11110
, 9115817342
— чётные числа.
31
, 703
, 78527
, 2356895125
— нечётные числа.

Арифметика

  • Сложение и вычитание:
    • Ч
      ётное ± Ч
      ётное = Ч
      ётное
    • Ч
      ётное ± Н
      ечётное = Н
      ечётное
    • Н
      ечётное ± Ч
      ётное = Н
      ечётное
    • Н
      ечётное ± Н
      ечётное = Ч
      ётное
  • Умножение:
    • Ч
      ётное × Ч
      ётное = Ч
      ётное
    • Ч
      ётное × Н
      ечётное = Ч
      ётное
    • Н
      ечётное × Н
      ечётное = Н
      ечётное
  • Деление:
    • Ч
      ётное / Ч
      ётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число , то оно может быть как чётным, так и нечётным)
    • Ч
      ётное / Н
      ечётное = если результат целое число , то оно Ч
      ётное
    • Н
      ечётное / Ч
      ётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
    • Н
      ечётное / Н
      ечётное = если результат целое число , то оно Н
      ечётное

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь , а чётные — Ян .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США , Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье . В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

Примечания

Wikimedia Foundation
.
2010
.

  • Нечетность
  • Нечетные и четные функции

Смотреть что такое «Нечетные числа» в других словарях:

    Четные и нечетные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Числа
    — Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число есть фундаментальный принцип, лежащий в основе мира вещей. Оно начало всех вещей и той гармонии вселенной, стоящей за их внешней связью. Число это основной принцип… … Словарь символов

    ЧИСЛА
    — ♠ Значение сна зависит от того, где именно и в каком виде вы видели приснившееся вам число, а также от его значения. Если число было в календаре это предупреждение о том, что в этот день вас ждет важное событие, которое перевернет всю вашу… … Большой семейный сонник

    КОРЕНЬ ЧИСЛА
    — (root of number) Число х, чье значение в степени r равно у. Если у=хr, то х – корень r – степени от у. Например, в уравнении у=х2, х является квадратным корнем из у, и записывается следующим образом: x=√ y=y1/2; если z=x3, то х – кубический… … Экономический словарь

    Пифагор и пифагорейцы
    — Пифагор родился на Самосе. Расцвет его жизни приходится на 530 е годы до н.э., а смерть на начало V в. до н.э. Диоген Лаэртский, один из известных биографов античных философов, сообщает нам: Молодой и жадный до знаний, он покинул отечество,… … Западная философия от истоков до наших дней

    сорит
    — (от греч. soros куча) цепь сокращенных силлогизмов, в которых опущена или большая, или меньшая посылка. Различают два вида С.: 1) С., в котором начиная со второго силлогизма в цепи силлогизмов пропускается меньшая посылка; 2) С., в котором… … Словарь терминов логики

    «Сакральный» смысл чисел в верованиях и учениях
    — К материалу «07.07.07. Влюбленные всего мира поверили в магию чисел» С глубокой древности числа играют важную и многогранную роль в жизни человека. Древние люди приписывали им особые, сверхъестественные свойства; одни числа сулили… … Энциклопедия ньюсмейкеров

    НУМЕРОЛОГИЯ
    — и; ж. [лат. numero считаю и греч. logos учение] Учение, основанное на вере в сверхъестественное влияние на судьбу человека, страны и т.п. сочетаний определённых чисел, цифр. ◁ Нумерологический, ая, ое. Н ие предсказания. * * * НУМЕРОЛОГИЯ… … Энциклопедический словарь

    Случайное простое число
    — В криптографии под случайным простым числом понимается простое число, содержащее в двоичной записи заданное количество битов, на алгоритм генерации которого накладываются определенные ограничения. Получение случайных простых чисел является… … Википедия

    Счастливое число
    — В теории чисел счастливое число является натуральным числом множества генерируемое «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа. Начнем со списка целых чисел, начиная с 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,… … Википедия

Книги

  • Занимаюсь математикой. Для детей 6-7 лет , Сорокина Татьяна Владимировна. Основные задачи пособия — ознакомление ребенка с математическими понятиями «слагаемое», «сумма», «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность», «однозначные/двузначные числа», «четные/нечетные…

Чётность нуля
— вопрос, считать ли ноль чётным или нечётным числом . Ноль — чётное число . Однако чётность нуля вызывает сомнения в среде людей, недостаточно знакомых с математикой. Большинство людей задумываются дольше, прежде чем идентифицировать 0 как чётное число, по сравнению с идентификацией обычных чисел вроде 2, 4, 6 или 8. Некоторые студенты, изучающие математику, и даже некоторые преподаватели, ошибочно считают ноль нечётным числом, или чётным и нечётным одновременно, или не относят его ни к одной категории.

По определению, чётное число — такое целое число , которое делится на без остатка. Ноль обладает всеми свойствами, которые присущи чётным числам, например, 0 с обеих сторон граничит с нечетными числами, каждое десятичное целое число имеет такую же чётность, как и последняя цифра этого числа, поэтому, поскольку 10 является чётным, то 0 также будет чётным. Если
y
{displaystyle y}

является четным числом, тогда
y
+
x
{displaystyle y+x}
имеет такую чётность, что имеет
x
{displaystyle x}

, а
x
{displaystyle x}

и
0
+
x
{displaystyle 0+x}
всегда имеют одинаковую чётность.

Ноль также соответствует закономерностям, которые образуют другие чётные числа. Правила чётности в арифметике, такие как чётное−чётное=чётное
, предполагают, что 0 также должно быть чётным числом. Ноль является аддитивным нейтральным элементом группы чётных чисел, и он является началом, с которого рекурсивно определены другие чётные натуральные числа . Применение такой рекурсии по теории графов к вычислительной геометрии полагается на то, что ноль является чётным. Ноль делится не только на 2, он делится на все степени двойки. В этом смысле, 0 является «наиболее чётным» числом из всех чисел.

Почему ноль является чётным

Чтобы доказать, что ноль является чётным, можно непосредственно использовать стандартное определение «чётного числа». Число называют чётным, если это число кратно 2. Например, причиной того, что число 10 является чётным, является то, что оно равно 5 × 2
. В то же время, ноль также является целым кратным 2, то есть 0 × 2
, следовательно ноль является чётным .

Кроме того, можно объяснить, почему ноль является чётным, не применяя формальных определений.

Простые объяснения

Числа можно изобразить с помощью точек на числовой оси . Если на ней нанести чётные и нечётные числа, их общая закономерность становится очевидной, особенно если добавить и отрицательные числа:

Чётные и нечётные числа чередуются между собой. Нет причины пропустить число ноль .

Математический контекст

Численные результаты теории обращаются к основной теореме арифметики и алгебраическим свойствам чётных чисел, поэтому вышеупомянутая конвенция имеет далеко идущие последствия. Например, факт, что положительные числа имеют уникальную факторизацию , означает, что для отдельного числа можно определить, имеет ли оно чётное или нечётное количество различных простых множителей. Поскольку 1 не является простым числом, а также не имеет простых множителей, оно является пустым произведением простых чисел; поскольку 0 — чётное число, 1 имеет чётное количество простых множителей. Из этого следует, что функция Мёбиуса принимает значение μ (1) = 1, что необходимо, чтобы она была мультипликативной функцией и работала формула вращения Мёбиуса .

В образовании

Вопрос, является ли ноль чётным числом, поднимался в системе школьного образования Великобритании. Проводились многочисленные опросы мнения школьников по данному вопросу. Выяснилось, что ученики по-разному оценивают чётность нуля: некоторые считают его чётным, некоторые — нечётным, иные полагают, что он является особым числом — и тем и другим одновременно или ни тем ни другим. Причём ученики пятых классов дают правильный ответ чаще, чем ученики шестых классов .

Как показали исследования, даже преподаватели в школах и вузах недостаточно осведомлены о чётности нуля. Так, например, порядка 2/3 преподавателей Университета Южной Флориды ответили «нет» на вопрос «Является ли ноль чётным числом?» .

Примечания

Литература

  • Anderson, Ian (2001), A First Course in Discrete Mathematics
    , London: Springer, ISBN 1-85233-236-0
  • Anderson, Marlow & Feil, Todd (2005), A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields
    , London: CRC Press, ISBN 1-58488-515-7
  • Andrews, Edna (1990), Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language
    , Durham: Duke University Press, ISBN 0-8223-0959-9
  • Arnold, C. L. (January 1919), «The Number Zero «, The Ohio Educational Monthly
    Т. 68 (1): 21–22,
    . Проверено 11 апреля 2010.
  • Arsham, Hossein (January 2002), Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives
    ,
    . Проверено 24 сентября 2007.
    Архивная копия от 25 сентября 2007 на Wayback Machine
  • Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C. & Bass, Hyman (2005), «Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? «, American Educator
    ,
    . Проверено 16 сентября 2007.
  • Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer & Thames, Mark Hoover (2008), «Making mathematics work in school «, Journal for Research in Mathematics Education
    Т. M14: 13–44 and 195–200,
    . Проверено 4 марта 2010.
  • Barbeau, Edward Joseph (2003), Polynomials
    , Springer, ISBN 0-387-40627-1
  • Baroody, Arthur & Coslick, Ronald (1998), Fostering Children»s Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8
    , Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 0-8058-3105-3
  • Berlinghoff, William P.; Grant, Kerry E. & Skrien, Dale (2001), A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts
    (5th rev. ed.), Rowman & Littlefield, ISBN 0-7425-0202-3
  • Border, Kim C. (1985), Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory
    , Cambridge University Press, ISBN 0-521-38808-2
  • Brisman, Andrew (2004), Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways
    , Sterling, ISBN 1-4027-1300-2
  • Bunch, Bryan H. (1982), Mathematical Fallacies and Paradoxes
    , Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5
  • Caldwell, Chris K. & Xiong, Yeng (27 December 2012), «What is the Smallest Prime? «, Journal of Integer Sequences
    Т. 15 (9),
  • Column 8 readers (10 March 2006a), Column 8
    (First ed.), с. 18, Factiva SMHH000020060309e23a00049
  • Column 8 readers (16 March 2006b), Column 8
    (First ed.), с. 20, Factiva SMHH000020060315e23g0004z
  • Crumpacker, Bunny (2007), Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count
    , Macmillan, ISBN 0-312-36005-3
  • Cutler, Thomas J. (2008), The Bluejacket»s Manual: United States Navy
    (Centennial ed.), Naval Institute Press, ISBN 1-55750-221-8
  • Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge & Giraux, Pascal (1993), «The mental representation of parity and numerical magnitude «, Journal of Experimental Psychology: General
    Т. 122 (3): 371–396, doi :10.1037/0096-3445.122.3.371 ,
    . Проверено 13 сентября 2007.
  • Devlin, Keith (April 1985), «The golden age of mathematics», New Scientist
    Т. 106 (1452)
  • Diagram Group (1983), The Official World Encyclopedia of Sports and Games
    , Paddington Press, ISBN 0-448-22202-7
  • Dickerson, David S & Pitman, Damien J (July 2012), Tai-Yih Tso, ed., «Advanced college-level students» categorization and use of mathematical definitions «, Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education
    Т. 2: 187–195,
  • Dummit, David S. & Foote, Richard M. (1999), Abstract Algebra
    (2e ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-36857-1
  • Educational Testing Service (2009), Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test
    , Educational Testing Service,
    . Проверено 6 сентября 2011.
  • Freudenthal, H. (1983), Didactical phenomenology of mathematical structures
    , Dordrecht, The Netherlands: Reidel
  • Frobisher, Len (1999), Anthony Orton, ed., Primary School Children»s Knowledge of Odd and Even Numbers
    , London: Cassell, с. 31–48
  • Gouvêa, Fernando Quadros (1997),
    p-adic numbers: an introduction
    (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4
  • Gowers, Timothy (2002), Mathematics: A Very Short Introduction
    , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-285361-5
  • Graduate Management Admission Council (September 2005), The Official Guide for GMAT Review
    (11th ed.), McLean, VA: Graduate Management Admission Council, ISBN 0-9765709-0-4
  • Grimes, Joseph E. (1975), The Thread of Discourse
    , Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-X
  • Hartsfield, Nora & Ringel, Gerhard (2003), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction
    , Mineola: Courier Dover, ISBN 0-486-43232-7
  • Hill, Heather C.; Blunk, Merrie L.; Charalambous, Charalambos Y. & Lewis, Jennifer M. (2008), «Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study «, Cognition and Instruction
    Т. 26 (4): 430–511, DOI 10.1080/07370000802177235
  • Hohmann, George (25 October 2007), Companies let market determine new name
    , с. P1C, Factiva CGAZ000020071027e3ap0001l
  • Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, 2005 Edition
    , Simon and Schuster, ISBN 0-7432-6035-X
  • Keith, Annie (2006), Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers
    , IAP, ISBN 1-59311-495-8
  • Krantz, Steven George (2001), Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry
    , CRC Press, ISBN 1-58488-052-X
  • Levenson, Esther; Tsamir, Pessia & Tirosh, Dina (2007), «Neither even nor odd: Sixth grade students» dilemmas regarding the parity of zero «, The Journal of Mathematical Behavior
    Т. 26 (2): 83–95, DOI 10.1016/j.jmathb.2007.05.004
  • Lichtenberg, Betty Plunkett (November 1972), «Zero is an even number», The Arithmetic Teacher
    Т. 19 (7): 535–538
  • Lorentz, Richard J. (1994), Recursive Algorithms
    , Intellect Books, ISBN 1-56750-037-4
  • Lovas, William & Pfenning, Frank (22 January 2008), «A Bidirectional Refinement Type System for LF «, Electronic Notes in Theoretical Computer Science
    Т. 196: 113–128, doi :10.1016/j.entcs.2007.09.021 ,
    . Проверено 16 июня 2012.
  • Lovász, László ; Pelikán, József & Vesztergombi, Katalin L. (2003), Discrete Mathematics: Elementary and Beyond
    , Springer, ISBN 0-387-95585-2
  • Morgan, Frank (5 April 2001), Old Coins
    , The Mathematical Association of America,
    . Проверено 22 августа 2009.
  • Nipkow, Tobias; Paulson, Lawrence C. & Wenzel, Markus (2002), Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic
    , Springer, ISBN 3-540-43376-7
  • Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke & Willmes, Klaus (July 2004), «Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect «, The Quarterly Journal of Experimental Psychology A
    Т. 57 (5): 835–863, DOI 10.1080/02724980343000512
  • Partee, Barbara Hall (1978), Fundamentals of Mathematics for Linguistics
    , Dordrecht: D. Reidel,

Решение

а) Невозможно. Найдем сумму всех чисел в явном виде. Разобьем ряд на группы по 4 числа. В первую группу войдут 4 крайних числа, в следующую — числа с 5-го по 8-е и так далее. 2016 делится нацело на 4, поэтому весь ряд разделится на группы, число групп равно 2016 : 4=504. По условию, сумма чисел в каждой группе 12. Значит, сумма всего ряда 504 cdot 12=6048, и другая сумма получится не может.

б) Возможно. Рассмотрим, например, ряд 2, 2, 6, 2, 2, 2, 6, 2, … , 2, 2, 6, 2, 2, состоящий из 504 четверок вида 2, 2, 6, 2, 2017-е число которого равно 2. Тогда сумма всех чисел равна (2+6+2+2) cdot 504+2=6050. Проверим что условие выполняется. Среди любых последовательных четырех чисел три двойки и одна шестёрка, поэтому их сумма будет равна 2 cdot 3+6=12.

в) Будем исследовать возможные значения суммы в зависимости от остатка при делении n на 4. Если n делится на 4, иными словами n=4k, где k in mathbb{N}, то аналогично пункту а) получается frac{n}{4}=k четвёрок последовательно идущих чисел, сумма чисел в каждой такой четвёрке равна 12. Значит, сумма всех чисел равна сумме всех четвёрок и равна k cdot 12=3n. Других сумм получиться не может.

Если n не делится на 4, то возможны случаи n=4k+r, где k in mathbb{N}, r in {1;2;3}.

Рассмотрим 5 последовательных чисел этого ряда: a_{i}, a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3}, a_{i+4}. По условию a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}=a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}=12. Отсюда a_{i}=a_{i+4}, то есть числа в ряду повторяются через четыре.

Если в ряду k одинаковых четвёрок и еще r чисел (r от 1 до 3), то эти r чисел равны начальным числам четвёрки. Сумма четверок равна 12k.

Числа ряда натуральные, поэтому a_{i} geq 1. При этом из четырёх последовательных чисел сумма любых трех не меньше 3, значит, четвертое число не больше 12-3=9.

Для случая n=4k+1 сумма S может изменяться от 12k+1 до 12k+9 включительно, всего можно получить 9 различных сумм.

Сумму S=12k+t,(t in mathbb{N}, 1 leq t leq 9) можно получить, например, так:

color{red}{t, 10-t,1,1,…,t,10-t,1,1},t. Выделенное красным: – четверок (t,10-t,1,1).

Из четырёх последовательных чисел сумма любых двух не меньше 2, значит, третье и четвёртое числа в сумме не больше 12-2=10. Поэтому для случая n=4k+2 сумма S может изменяться от 12k+2 до 12k+10 включительно, всего можно получить 9 различных сумм.

Сумму S=12k+t,(t in mathbb{N}, 2 leq t leq 10) можно получить, например, так:

color{red}{t-1,1,1,11-t,…,t-1,1,1,11-t},t-1,1. Выделенное красным: – четверок (t-1,1,1,11-t).

Из четырех последовательных чисел любое число не меньше 1, значит, три остальных числа в сумме не меньше 3 и не больше 12-1=11. Поэтому для случая n=4k+3 сумма S может изменяться от 12k+3 до 12k+11 включительно, всего можно получить также 9 различных сумм.

Сумму S=12k+t,(t in mathbb{N}, 3 leq t leq 11) можно получить, например, так:

color{red}{t-2,1,1,12-t,…,t-2,1,1,12-t},t-2,1,1. Выделенное красным: – четверок (t-2,1,1,12-t).

Ответ

а) нет; б) да; в) 1, если n делится на 4; 9, если n не делится на 4.

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

19. Задачи на теорию чисел


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения


Задание
1

#1075

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ряд выписаны числа от (1) до (22). Можно ли между ними расставить знаки “(+)( )и “(-)( )так, чтобы в результате получился (0)?

Среди чисел (1, 2, 3, …, 22) всего (11) четных и (11) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как (0) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет


Задание
2

#1076

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ряд выписаны числа от (1) до (98). Можно ли между ними расставить знаки “(+)( )и “(-)( )так, чтобы в результате получилось (2)?

Среди чисел (1,2,3, …, 98) всего (49) четных и (49) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как (2) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет


Задание
3

#1077

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли разменять (1000) рублей купюрами по (5, 25, 125) рублей так, чтобы всего оказалось (101) купюра? (купюры в (5, 25, 125) рублей бывают)

Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять (1000) рублей.

Ответ:

Нет


Задание
4

#1078

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли разменять (600) рублей купюрами по (7, 49, 73) рубля так, чтобы всего оказалось (17) купюр? (купюры в (7, 49, 73) рубля бывают)

Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять (600) рублей.

Ответ:

Нет


Задание
5

#1079

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число (123456789)?

Предположим, что такое может быть. Пусть (a) и (b) – целые числа из нашей задачи, тогда ((a+b)cdot acdot b=123456789). Так как число (123456789) – нечетное, то (a), (b) – нечетные, но тогда число ((a+b)) – четное, но тогда число ((a+b)cdot acdot b) – четное, но (123456789) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.

Ответ:

Нет


Задание
6

#1080

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число (10011001)?

Предположим, что такое может быть. Пусть (a) и (b) – целые числа из нашей задачи, тогда ((a-b)cdot acdot b=10011001). Так как число (10011001) – нечетное, то (a), (b) – нечетные, но тогда число ((a-b)) – четное, но тогда число ((a-b)cdot acdot b) – четное, но (10011001) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.

Ответ:

Нет


Задание
7

#1081

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли представить (1) в виде суммы четырех дробей (dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}+dfrac{1}{d}), где (a, b, c,
d)
– нечетные натуральные числа?

Предположим, что можно. Тогда [dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}+dfrac{1}{d}=1,] приведем в левой части все к общему знаменателю:
[dfrac{bcd+acd+abd+bcd}{abcd}=1qquadRightarrowqquad bcd+acd+abd+bcd=abcd.] Но так как (a, b, c, d) – нечетные натуральные числа, то получаем, что четное число равно нечетному – противоречие, значит так представить (1) нельзя.

Ответ:

Нет

Задачи на четность — обязательная часть ЕГЭ по математике. В аттестационном испытании они традиционно встречаются из года в год. Знать алгоритм решения и оперативно находить правильный ответ в задачах ЕГЭ на четность должны учащиеся с любым уровнем подготовки.

Если подобные задания вызывают у вас сложности, обратитесь к образовательному порталу «Школково». Мы поможем восполнить пробелы в знаниях.

В соответствующем разделе представлены задачи на четность и нечетность, схожие с теми, которые встречаются в ЕГЭ. Усвоив алгоритм их решения и попрактиковавшись, выпускник сможет рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи экзамена.

Необходимо запомнить!

Приступая к решению подобных задач, стоит освежить в памяти основные свойства четных и нечетных чисел. Их несколько:

  1. Если как минимум один множитель произведения двух или нескольких чисел является четным, то четным будет и все произведение.
  2. Если каждый множитель произведения двух или более чисел является нечетным, то и все произведение будет нечетным.
  3. Сумма четных чисел является четным числом.
  4. Сумма четного и нечетного чисел — всегда число нечетное.

Как подготовиться к экзамену?

Для того чтобы задачи на четность не вызывали у вас затруднений, рекомендуем изучить информацию, собранную специалистами образовательного портала «Школково». Здесь представлен весь необходимый теоретический материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.

Кроме того, в соответствующем разделе собраны упражнения для отработки полученных знаний. Для каждого задания специалисты «Школково» создали алгоритм решения и привели правильный ответ. Выпускники имеют возможность практиковаться в выполнении задач на четность и нечетность чисел и функции в режиме онлайн.

0 четное число егэ

Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике

Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике

Анна Малкова

Задача №18 Профильного ЕГЭ по математике. Странная. Ни на что не похожая. В ней нет ни синусов, ни логарифмов, ни производных… но попробуй реши!

Мы разберем реальные задачи Профильного ЕГЭ на числа и их свойсва. Но не сразу. Сначала – подготовительные задачи. Они помогут понять основные принципы решения таинственной 18-й задачи.

1. Встретились как-то раз два математика. Когда-то они вместе учились в школе, много лет друг друга не видели, и им было о чем поговорить.
Один сказал, что у него трое сыновей. И что произведение возрастов этих детей равно 36.

Второй спросил: «А чему равна сумма их возрастов»

– А сумма возрастов, — сказал первый, — такая же, как и номер автобуса, который только что проехал мимо.

— Не хватает данных, — ответил второй.

— Хорошо, — согласился первый. – Старший сын рыжий.

Второй назвал возраст детей.

Как он это сделал?

Будем считать, что возрасты сыновей математика – целые положительные (то есть натуральные) числа. Произведение трех натуральных чисел равно 36. Запишем возможные варианты, а также сумму возрастов детей в каждом случае.

Возрасты детей Сумма возрастов
1 1 36 38
1 2 18 21
1 3 12 16
1 4 9 14
1 6 6 13
2 2 9 13
2 3 6 11
3 3 4 10

Если бы номер проехавшего автобуса был равен 21, или 10, или 11, возрасты детей определялись бы однозначно. Но второй математик сказал, что ему не хватает данных. Значит, номер автобуса равен 13. Возможны варианты: 1, 6 и 6 лет или 2, 2 и 9 лет. Фраза «Старший сын рыжий» подразумевает, что среди мальчиков есть старший. В случае, когда возрасты детей равны 1, 6 и 6 лет, старших двое, и этот вариант не подходит. Значит, старшему 9 лет, а младшим по 2 года.

В задаче 18 Профильного ЕГЭ по математике тоже используется перебор вариантов. Но не хаотичный, а умный, то есть перебор вариантов по определенному правилу.

Вот еще одна задача, которая появилась задолго до ЕГЭ. Когда-то она была предложена на экзаменах в Финансовый университет и давно уже стала народной. В ней есть забавная ловушка, поэтому лучше решать ее большой компанией. Рекомендую учителям матклассов и ведущим курсов подготовки к ЕГЭ!

2.Два брата продали стадо овец, выручив за каждую овцу столько рублей, сколько было в стаде овец. Решив разделить выручку поровну, они поступили следующим образом: каждый брат, начиная со старшего, брал из общей суммы по 10 рублей. После того, как в очередной раз старший брат взял 10 рублей, остаток от выручки оказался меньше 10 рублей. Желая его компенсировать, старший брат отдал младшему свой нож. Во сколько рублей был оценен этот нож? (Все суммы денег выражаются натуральными числами).

Пусть в стаде n овец, и за каждую выручили n рублей.

Теперь у братьев есть n^{2} рублей.

Пусть из кучки в n^{2} рублей братья k раз берут по 10 рублей. Старший, потом младший, опять старший, и опять младший… И вот старший брат взял десятку, и осталось
y рублей. Теперь младший брат слегка обиженно смотрит на старшего, и старший отдает ему свой нож. Представили?

Пусть нож оценен в x рублей.

Запишите систему условий. И проверьте, что у вас получилось.

Вот что у меня:

0 четное число егэ

Первое уравнение вопросов не вызывает, правда? Со вторым – неравенством – тоже все понятно. Остаток от деления на 10 ненулевой и меньше 10, и мы записали эти условия в виде нестрогого неравенства. А вот третье уравнение…

Что же оно означает?
Каждый из братьев получил одинаковое количество десяток. И еще младший брат взял y рублей и нож, оцененный в x рублей (это левая часть уравнения). А старший брат взял на одну десятку больше, но зато лишился ножа – значит, он стал на x рублей беднее.

Получаем: 2x=10-y, то есть y=10-2x.

Правая часть уравнения делится на 2. Значит, и левая его часть делится на 2, и тогда y – четное число.

Тогда из первого уравнения следует, что n^{2} – четная величина. Но если квадрат натурального числа является четной величиной, значит, и само число четно. И тогда
n^{2} делится на 4.

Поскольку y – четный остаток от деления на 10, то у может принимать значения: 2, 4, 6, 8.

Тогда запись n^{2}=10k+y означает, что n^{2} оканчивается на 2, 4, 6 или 8. Теперь 2 и 8 можно отбросить, поскольку ни один квадрат целого числа ни на 2, ни на 8 не заканчивается. Остаются варианты y=4 и y=6. Что же из них является правильным ответом?

Вспомним еще одно условие: последним взял 10 рублей старший брат. Это значит, что k, то есть количество десяток, – нечетно. Пусть k=2m+1.

Если y=4, то n^{2}=10left ( 2m+1 right )=20m+14. Получим:

n^{2}-20m=14.

Посмотрим внимательно на это уравнение в целых числах. Поскольку n^{2} делится на 4, 20 делится на 4, то левая часть уравнения делится на 4. Но правая его часть, равная 14, на 4 не делится! Значит, у него нет решений, и y=4 не подходит.

Если y=6, то n^{2}=10left ( 2m+1 right )+6=20m+16, противоречий нет. В этом случае x=2.

Вот такие они – задачи на числа и их свойства. Иногда кажется, что условие и то, о чем спрашивается, никак не связаны. Научиться решать их – целое искусство.

Для того чтобы лучше освоить тему, читайте статью «Делимость чисел»

Интересно, что в Базовом ЕГЭ по математике тоже есть задание на числа и их свойства. И тоже под номером 19. Их вполне можно считать подготовительными.

Обратите внимание, что даже решая их подбором – мы не перебираем все числа подряд, а следуем определенному правилу.

3. Вычеркните в числе 24715905 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Чтобы число делилось на 30, оно должно делиться на 3 и на 10. Вычеркнем на конце исходного числа цифру 5. Получившееся число 2471590 делится на 10. Сумма его цифр равна 28. Вычеркнем цифры 7. Теперь сумма цифр равна 21, число 241590 делится на 3. Вычеркнем 9 – третью цифру. Число 24150 делится на 30, поскольку делится на 3 и на 10.

Ответ: 24150. Возможны и другие ответы.

4. Найдите четырехзначное число, кратное 66, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь такое число.

Если число кратно 66, то оно делится на 2, на 3 и на 11. Значит, оно четно, сумма его цифр делится на 3. Кроме того, выполняется признак деления на 11:

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда суммы цифр на четных и нечетных позициях числа a равны или их разность кратна 11.

Четные цифры: 2, 4, 6, 8, 0.

Число 2640 четно, сумма цифр делится на 3, 2 + 4 = 6 + 0.

Ответ: 2640.

5. Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Число делится на 18, если оно четно и сумма его цифр делится на 9.
Первая цифра нашего числа – либо 2, либо 3. Последняя 6 или 8 (четная).

Случай, когда первая цифра равна 2, а последняя цифра равна 6, не подходит: числа 2346 и 2456 не делятся на 9. Число 3456 – четно и делится на 9.

Ответ: 3456.

6. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.

Обозначим наше число А. Поскольку число А которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3, число В = А – 3 делится на 4, на 5 и на 6. Значит, В делится на их наименьшее общее кратное, то есть на 60.

Поскольку А ≥ 601, В ≥ 588. Возможные значения для В:
600, 660, 720, 780, 840, 900, 960.

Возьмем число 963. При делении на 4, на 5 и на 6 оно дает в остатке 3, и его цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. Они даже образуют убывающую арифметическую прогрессию!

Ответ: 963.

7. Найдите натуральное число, большее 1340, но меньшее 1640, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Обозначим наше число А. Поскольку 1341 ≤ А ≤ 1639, первая цифра этого числа равна 1.

Возьмем число 1395. Оно делится на 1, на 3, на 9 и на 5. Просто подбор.

Ответ: 1395.