0 четное или нет в егэ

В разделе гуманитарные науки на вопрос ноль -четное или нечетное? и почему заданный автором катерина лучший ответ это чтность в

В разделе Гуманитарные науки
на вопрос Ноль -четное или нечетное? И почему заданный автором КАТЕРИНА
лучший ответ это Чётность в теории чисел — характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, -8, 40), если нет — нечётным (примеры: 1,3, 75, -19). Нуль считается чётным числом.
Чётное число — целое число, которое делится на 2 без остатка: …−4,-2,0,2,4,6,8…
Нечётное число — целое число, которое не делится на 2 без остатка: …−3,−1,1,3,5,7,9…
Иными словами, чётные и нечётные числа — это элементы соответственно классов вычетов и по модулю 2.

Ответ от Валентина Дубковская
[гуру]
Четное. Потому что на 2 делится.

Ответ от Ёофья Ерина
[гуру]
Да. Но мат-ка, между прочим, точная наука, а не гуманитарная!

Ответ от Пользователь удален
[гуру]
Все четные числа делятся на 2, в том числе и 0.

Ответ от James Lukash
[гуру]
Видимо, нуль все-таки четное число, если вики так говорит на пару с БСЭ, хотя я считал, что нуль стоит особняком от всего остального числового ряда и не является ни четным, ни нечетным

Ответ от Л
[активный]
ноль абсолютное и самодостаточное. нах его делить?

Ответ от Ёергей Сергеев
[активный]
Ваще, по моему, ноль это не число и то, что выбран раздел гуманитарных наук — эо верно. Ноль — это понятие, определение и то, что он делится на 2 ни о чем не говорит. Ноль — это таже бесконечность, только наоборот. И размышлять на эту тему можно бесконечно. А если кому-то охота, то может поискать мои «Размышления о вечности», да в инете меня Гринго зовут

Ответ от Данил «stager» Воронов
[активный]
Соня Ерина Меню пользователя Знаток (307)1 минуту назад (ссылка)ПожаловатьсяПожаловатьсяДа. Но мат-ка, между прочим, точная наука, а не гуманитарная!о_0

Определения

  • Чётное число
    — целое число, которое делится
    без остатка на 2: …, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, …
  • Нечётное число
    — целое число, которое не делится
    без остатка на 2: …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

В соответствии с этим определением нуль является чётным числом.

Если m
чётно, то оно представимо в виде , а если нечётно, то в виде , где .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции.

В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше ), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли.

Например, вполне допустимо подарить юной даме букет из 12 или 14 цветов или срезов кустового цветка, если они имеют множество бутонов , у которых они, в принципе, не подсчитываются.
Тем более это относится к б́ольшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

Примечания

Wikimedia Foundation
.
2010
.

  • Маарду
  • Сверхпроводимость

Смотреть что такое «Чётные и нечётные числа» в других словарях:

    Нечётные числа

    Чётные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Нечётное
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Нечётное число
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Нечетные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Четные и нечетные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Четные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Слегка избыточные числа
    — Слегка избыточное число, или квазисовершенное число избыточное число, сумма собственных делителей которого на единицу больше самого числа. До настоящего времени не было найдено ни одного слегка избыточного числа. Но со времён Пифагора,… … Википедия

    Совершенные числа
    — целые положительные числа, равные сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например, числа 6 = 1+2+3 и 28 = 1+2+4+7+14 являются совершенными. Ещё Евклидом (3 в. до н. э.) было указано, что чётные С. ч. можно… …

    Квантовые числа
    — целые (0, 1, 2,…) или полуцелые (1/2, 3/2, 5/2,…) числа, определяющие возможные дискретные значения физических величин, которые характеризуют квантовые системы (атомное ядро, атом, молекулу) и отдельные элементарные частицы.… … Большая советская энциклопедия

Книги

  • Математические лабиринты и ребусы, 20 карточек , Барчан Татьяна Александровна, Самоделко Анна. В наборе: 10 ребусов и 10 математических лабиринтов на темы: — Числовой ряд; — Чётные и нечётные числа; — Состав числа; — Счёт парами; — Упражнения на сложение и вычитание. В комплекте 20…

Признак чётности

Если в десятичной форме записи числа последняя цифра
является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42
, 104
, 11110
, 9115817342
— чётные числа.
31
, 703
, 78527
, 2356895125
— нечётные числа.

Арифметика

  • Сложение и вычитание:
    • Ч
      ётное ± Ч
      ётное = Ч
      ётное
    • Ч
      ётное ± Н
      ечётное = Н
      ечётное
    • Н
      ечётное ± Ч
      ётное = Н
      ечётное
    • Н
      ечётное ± Н
      ечётное = Ч
      ётное
  • Умножение:
    • Ч
      ётное × Ч
      ётное = Ч
      ётное
    • Ч
      ётное × Н
      ечётное = Ч
      ётное
    • Н
      ечётное × Н
      ечётное = Н
      ечётное
  • Деление:
    • Ч
      ётное / Ч
      ётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число , то оно может быть как чётным, так и нечётным)
    • Ч
      ётное / Н
      ечётное = если результат целое число , то оно Ч
      ётное
    • Н
      ечётное / Ч
      ётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
    • Н
      ечётное / Н
      ечётное = если результат целое число , то оно Н
      ечётное

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. Так, в древнекитайской мифологии нечётные числа соответствовали Инь , а чётные — Ян .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США , Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье . В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.

Примечания

Wikimedia Foundation
.
2010
.

  • Нечетность
  • Нечетные и четные функции

Смотреть что такое «Нечетные числа» в других словарях:

    Четные и нечетные числа
    — Чётность в теории чисел характеристика целого числа, определяющая его способность делиться нацело на два. Если целое число делится без остатка на два, оно называется чётным (примеры: 2, 28, −8, 40), если нет нечётным (примеры: 1, 3, 75, −19).… … Википедия

    Числа
    — Во многих культурах, особенно в вавилонской, индуистской и пифагорейской, число есть фундаментальный принцип, лежащий в основе мира вещей. Оно начало всех вещей и той гармонии вселенной, стоящей за их внешней связью. Число это основной принцип… … Словарь символов

    ЧИСЛА
    — ♠ Значение сна зависит от того, где именно и в каком виде вы видели приснившееся вам число, а также от его значения. Если число было в календаре это предупреждение о том, что в этот день вас ждет важное событие, которое перевернет всю вашу… … Большой семейный сонник

    КОРЕНЬ ЧИСЛА
    — (root of number) Число х, чье значение в степени r равно у. Если у=хr, то х – корень r – степени от у. Например, в уравнении у=х2, х является квадратным корнем из у, и записывается следующим образом: x=√ y=y1/2; если z=x3, то х – кубический… … Экономический словарь

    Пифагор и пифагорейцы
    — Пифагор родился на Самосе. Расцвет его жизни приходится на 530 е годы до н.э., а смерть на начало V в. до н.э. Диоген Лаэртский, один из известных биографов античных философов, сообщает нам: Молодой и жадный до знаний, он покинул отечество,… … Западная философия от истоков до наших дней

    сорит
    — (от греч. soros куча) цепь сокращенных силлогизмов, в которых опущена или большая, или меньшая посылка. Различают два вида С.: 1) С., в котором начиная со второго силлогизма в цепи силлогизмов пропускается меньшая посылка; 2) С., в котором… … Словарь терминов логики

    «Сакральный» смысл чисел в верованиях и учениях
    — К материалу «07.07.07. Влюбленные всего мира поверили в магию чисел» С глубокой древности числа играют важную и многогранную роль в жизни человека. Древние люди приписывали им особые, сверхъестественные свойства; одни числа сулили… … Энциклопедия ньюсмейкеров

    НУМЕРОЛОГИЯ
    — и; ж. [лат. numero считаю и греч. logos учение] Учение, основанное на вере в сверхъестественное влияние на судьбу человека, страны и т.п. сочетаний определённых чисел, цифр. ◁ Нумерологический, ая, ое. Н ие предсказания. * * * НУМЕРОЛОГИЯ… … Энциклопедический словарь

    Случайное простое число
    — В криптографии под случайным простым числом понимается простое число, содержащее в двоичной записи заданное количество битов, на алгоритм генерации которого накладываются определенные ограничения. Получение случайных простых чисел является… … Википедия

    Счастливое число
    — В теории чисел счастливое число является натуральным числом множества генерируемое «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа. Начнем со списка целых чисел, начиная с 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,… … Википедия

Книги

  • Занимаюсь математикой. Для детей 6-7 лет , Сорокина Татьяна Владимировна. Основные задачи пособия — ознакомление ребенка с математическими понятиями «слагаемое», «сумма», «уменьшаемое», «вычитаемое», «разность», «однозначные/двузначные числа», «четные/нечетные…
  • Нечётное число
    — целое число , которое не делится
    на без остатка : …, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9, …

Если m
чётно, то оно представимо в виде m = 2 k, а если нечётно, то в виде m = 2 k + 1, где k in mathbb Z.

История и культура

Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию «инь », а нечётные — «ян » .

В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции. Например в США , Европе и некоторых восточных странах считается, что чётное количество даримых цветов приносит счастье . В России и странах СНГ чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим. Однако, в случаях, когда в букете много цветов (обычно больше ), чётность или нечётность их количества уже не играет никакой роли. Например, вполне допустимо подарить даме букет из 12, 14, 16 и т. д. цветов или срезов кустового цветка, имеющих множество бутонов , у которых они, в принципе, не подсчитываются. Тем более это относится к бо́льшему количеству цветов (срезов), даримых в других случаях.

Практика

В высших учебных заведениях со сложными графиками учебного процесса применяются чётные и нечётные недели. Внутри этих недель отличается расписание учебных занятий и в некоторых случаях время их начала и окончания. Такая практика применяется для равномерности распределения нагрузки по аудиториям, учебным корпусам и для ритмичности занятий по дисциплинам с малой аудиторной нагрузкой (1 раз в 2 недели)

В графиках движения поездов применяются чётные и нечётные номера поездов, зависящие от направления движения (прямое или обратное). Соответственно чётностью/нечётностью обозначается направление, в котором проходит поезд через каждую станцию.

С чётными и нечётными числами месяца иногда увязаны графики движения поездов, которые организованы через день.

Напишите отзыв о статье «Чётные и нечётные числа»

Примечания

Ссылки

  • Последовательность A005408 в OEIS : нечётные числа
  • Последовательность A005843 в OEIS : чётные числа
  • Последовательность A179082 в OEIS : чётные числа с чётной суммой цифр в десятичной записи

Отрывок, характеризующий Чётные и нечётные числа

– Так, так, – сказал князь Андрей, обращаясь к Алпатычу, – все передай, как я тебе говорил. – И, ни слова не отвечая Бергу, замолкшему подле него, тронул лошадь и поехал в переулок.

От Смоленска войска продолжали отступать. Неприятель шел вслед за ними. 10 го августа полк, которым командовал князь Андрей, проходил по большой дороге, мимо проспекта, ведущего в Лысые Горы. Жара и засуха стояли более трех недель. Каждый день по небу ходили курчавые облака, изредка заслоняя солнце; но к вечеру опять расчищало, и солнце садилось в буровато красную мглу. Только сильная роса ночью освежала землю. Остававшиеся на корню хлеба сгорали и высыпались. Болота пересохли. Скотина ревела от голода, не находя корма по сожженным солнцем лугам. Только по ночам и в лесах пока еще держалась роса, была прохлада. Но по дороге, по большой дороге, по которой шли войска, даже и ночью, даже и по лесам, не было этой прохлады. Роса не заметна была на песочной пыли дороги, встолченной больше чем на четверть аршина. Как только рассветало, начиналось движение. Обозы, артиллерия беззвучно шли по ступицу, а пехота по щиколку в мягкой, душной, не остывшей за ночь, жаркой пыли. Одна часть этой песочной пыли месилась ногами и колесами, другая поднималась и стояла облаком над войском, влипая в глаза, в волоса, в уши, в ноздри и, главное, в легкие людям и животным, двигавшимся по этой дороге. Чем выше поднималось солнце, тем выше поднималось облако пыли, и сквозь эту тонкую, жаркую пыль на солнце, не закрытое облаками, можно было смотреть простым глазом. Солнце представлялось большим багровым шаром. Ветра не было, и люди задыхались в этой неподвижной атмосфере. Люди шли, обвязавши носы и рты платками. Приходя к деревне, все бросалось к колодцам. Дрались за воду и выпивали ее до грязи.
Князь Андрей командовал полком, и устройство полка, благосостояние его людей, необходимость получения и отдачи приказаний занимали его. Пожар Смоленска и оставление его были эпохой для князя Андрея. Новое чувство озлобления против врага заставляло его забывать свое горе. Он весь был предан делам своего полка, он был заботлив о своих людях и офицерах и ласков с ними. В полку его называли наш князь, им гордились и его любили. Но добр и кроток он был только с своими полковыми, с Тимохиным и т. п., с людьми совершенно новыми и в чужой среде, с людьми, которые не могли знать и понимать его прошедшего; но как только он сталкивался с кем нибудь из своих прежних, из штабных, он тотчас опять ощетинивался; делался злобен, насмешлив и презрителен. Все, что связывало его воспоминание с прошедшим, отталкивало его, и потому он старался в отношениях этого прежнего мира только не быть несправедливым и исполнять свой долг.
Правда, все в темном, мрачном свете представлялось князю Андрею – особенно после того, как оставили Смоленск (который, по его понятиям, можно и должно было защищать) 6 го августа, и после того, как отец, больной, должен был бежать в Москву и бросить на расхищение столь любимые, обстроенные и им населенные Лысые Горы; но, несмотря на то, благодаря полку князь Андрей мог думать о другом, совершенно независимом от общих вопросов предмете – о своем полку. 10 го августа колонна, в которой был его полк, поравнялась с Лысыми Горами. Князь Андрей два дня тому назад получил известие, что его отец, сын и сестра уехали в Москву. Хотя князю Андрею и нечего было делать в Лысых Горах, он, с свойственным ему желанием растравить свое горе, решил, что он должен заехать в Лысые Горы.
Он велел оседлать себе лошадь и с перехода поехал верхом в отцовскую деревню, в которой он родился и провел свое детство. Проезжая мимо пруда, на котором всегда десятки баб, переговариваясь, били вальками и полоскали свое белье, князь Андрей заметил, что на пруде никого не было, и оторванный плотик, до половины залитый водой, боком плавал посредине пруда. Князь Андрей подъехал к сторожке. У каменных ворот въезда никого не было, и дверь была отперта. Дорожки сада уже заросли, и телята и лошади ходили по английскому парку. Князь Андрей подъехал к оранжерее; стекла были разбиты, и деревья в кадках некоторые повалены, некоторые засохли. Он окликнул Тараса садовника. Никто не откликнулся. Обогнув оранжерею на выставку, он увидал, что тесовый резной забор весь изломан и фрукты сливы обдерганы с ветками. Старый мужик (князь Андрей видал его у ворот в детстве) сидел и плел лапоть на зеленой скамеечке.
Он был глух и не слыхал подъезда князя Андрея. Он сидел на лавке, на которой любил сиживать старый князь, и около него было развешено лычко на сучках обломанной и засохшей магнолии.
Князь Андрей подъехал к дому. Несколько лип в старом саду были срублены, одна пегая с жеребенком лошадь ходила перед самым домом между розанами. Дом был заколочен ставнями. Одно окно внизу было открыто. Дворовый мальчик, увидав князя Андрея, вбежал в дом.
Алпатыч, услав семью, один оставался в Лысых Горах; он сидел дома и читал Жития. Узнав о приезде князя Андрея, он, с очками на носу, застегиваясь, вышел из дома, поспешно подошел к князю и, ничего не говоря, заплакал, целуя князя Андрея в коленку.

Чётность нуля
— вопрос, считать ли ноль чётным или нечётным числом . Ноль — чётное число . Однако чётность нуля вызывает сомнения в среде людей, недостаточно знакомых с математикой. Большинство людей задумываются дольше, прежде чем идентифицировать 0 как чётное число, по сравнению с идентификацией обычных чисел вроде 2, 4, 6 или 8. Некоторые студенты, изучающие математику, и даже некоторые преподаватели, ошибочно считают ноль нечётным числом, или чётным и нечётным одновременно, или не относят его ни к одной категории.

По определению, чётное число — такое целое число , которое делится на без остатка. Ноль обладает всеми свойствами, которые присущи чётным числам, например, 0 с обеих сторон граничит с нечетными числами, каждое десятичное целое число имеет такую же чётность, как и последняя цифра этого числа, поэтому, поскольку 10 является чётным, то 0 также будет чётным. Если
y
{displaystyle y}

является четным числом, тогда
y
+
x
{displaystyle y+x}
имеет такую чётность, что имеет
x
{displaystyle x}

, а
x
{displaystyle x}

и
0
+
x
{displaystyle 0+x}
всегда имеют одинаковую чётность.

Ноль также соответствует закономерностям, которые образуют другие чётные числа. Правила чётности в арифметике, такие как чётное−чётное=чётное
, предполагают, что 0 также должно быть чётным числом. Ноль является аддитивным нейтральным элементом группы чётных чисел, и он является началом, с которого рекурсивно определены другие чётные натуральные числа . Применение такой рекурсии по теории графов к вычислительной геометрии полагается на то, что ноль является чётным. Ноль делится не только на 2, он делится на все степени двойки. В этом смысле, 0 является «наиболее чётным» числом из всех чисел.

Почему ноль является чётным

Чтобы доказать, что ноль является чётным, можно непосредственно использовать стандартное определение «чётного числа». Число называют чётным, если это число кратно 2. Например, причиной того, что число 10 является чётным, является то, что оно равно 5 × 2
. В то же время, ноль также является целым кратным 2, то есть 0 × 2
, следовательно ноль является чётным .

Кроме того, можно объяснить, почему ноль является чётным, не применяя формальных определений.

Простые объяснения

Числа можно изобразить с помощью точек на числовой оси . Если на ней нанести чётные и нечётные числа, их общая закономерность становится очевидной, особенно если добавить и отрицательные числа:

Чётные и нечётные числа чередуются между собой. Нет причины пропустить число ноль .

Математический контекст

Численные результаты теории обращаются к основной теореме арифметики и алгебраическим свойствам чётных чисел, поэтому вышеупомянутая конвенция имеет далеко идущие последствия. Например, факт, что положительные числа имеют уникальную факторизацию , означает, что для отдельного числа можно определить, имеет ли оно чётное или нечётное количество различных простых множителей. Поскольку 1 не является простым числом, а также не имеет простых множителей, оно является пустым произведением простых чисел; поскольку 0 — чётное число, 1 имеет чётное количество простых множителей. Из этого следует, что функция Мёбиуса принимает значение μ (1) = 1, что необходимо, чтобы она была мультипликативной функцией и работала формула вращения Мёбиуса .

В образовании

Вопрос, является ли ноль чётным числом, поднимался в системе школьного образования Великобритании. Проводились многочисленные опросы мнения школьников по данному вопросу. Выяснилось, что ученики по-разному оценивают чётность нуля: некоторые считают его чётным, некоторые — нечётным, иные полагают, что он является особым числом — и тем и другим одновременно или ни тем ни другим. Причём ученики пятых классов дают правильный ответ чаще, чем ученики шестых классов .

Как показали исследования, даже преподаватели в школах и вузах недостаточно осведомлены о чётности нуля. Так, например, порядка 2/3 преподавателей Университета Южной Флориды ответили «нет» на вопрос «Является ли ноль чётным числом?» .

Примечания

Литература

  • Anderson, Ian (2001), A First Course in Discrete Mathematics
    , London: Springer, ISBN 1-85233-236-0
  • Anderson, Marlow & Feil, Todd (2005), A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields
    , London: CRC Press, ISBN 1-58488-515-7
  • Andrews, Edna (1990), Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language
    , Durham: Duke University Press, ISBN 0-8223-0959-9
  • Arnold, C. L. (January 1919), «The Number Zero «, The Ohio Educational Monthly
    Т. 68 (1): 21–22,
    . Проверено 11 апреля 2010.
  • Arsham, Hossein (January 2002), Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives
    ,
    . Проверено 24 сентября 2007.
    Архивная копия от 25 сентября 2007 на Wayback Machine
  • Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C. & Bass, Hyman (2005), «Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? «, American Educator
    ,
    . Проверено 16 сентября 2007.
  • Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer & Thames, Mark Hoover (2008), «Making mathematics work in school «, Journal for Research in Mathematics Education
    Т. M14: 13–44 and 195–200,
    . Проверено 4 марта 2010.
  • Barbeau, Edward Joseph (2003), Polynomials
    , Springer, ISBN 0-387-40627-1
  • Baroody, Arthur & Coslick, Ronald (1998), Fostering Children»s Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8
    , Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 0-8058-3105-3
  • Berlinghoff, William P.; Grant, Kerry E. & Skrien, Dale (2001), A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts
    (5th rev. ed.), Rowman & Littlefield, ISBN 0-7425-0202-3
  • Border, Kim C. (1985), Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory
    , Cambridge University Press, ISBN 0-521-38808-2
  • Brisman, Andrew (2004), Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways
    , Sterling, ISBN 1-4027-1300-2
  • Bunch, Bryan H. (1982), Mathematical Fallacies and Paradoxes
    , Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5
  • Caldwell, Chris K. & Xiong, Yeng (27 December 2012), «What is the Smallest Prime? «, Journal of Integer Sequences
    Т. 15 (9),
  • Column 8 readers (10 March 2006a), Column 8
    (First ed.), с. 18, Factiva SMHH000020060309e23a00049
  • Column 8 readers (16 March 2006b), Column 8
    (First ed.), с. 20, Factiva SMHH000020060315e23g0004z
  • Crumpacker, Bunny (2007), Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count
    , Macmillan, ISBN 0-312-36005-3
  • Cutler, Thomas J. (2008), The Bluejacket»s Manual: United States Navy
    (Centennial ed.), Naval Institute Press, ISBN 1-55750-221-8
  • Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge & Giraux, Pascal (1993), «The mental representation of parity and numerical magnitude «, Journal of Experimental Psychology: General
    Т. 122 (3): 371–396, doi :10.1037/0096-3445.122.3.371 ,
    . Проверено 13 сентября 2007.
  • Devlin, Keith (April 1985), «The golden age of mathematics», New Scientist
    Т. 106 (1452)
  • Diagram Group (1983), The Official World Encyclopedia of Sports and Games
    , Paddington Press, ISBN 0-448-22202-7
  • Dickerson, David S & Pitman, Damien J (July 2012), Tai-Yih Tso, ed., «Advanced college-level students» categorization and use of mathematical definitions «, Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education
    Т. 2: 187–195,
  • Dummit, David S. & Foote, Richard M. (1999), Abstract Algebra
    (2e ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-36857-1
  • Educational Testing Service (2009), Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test
    , Educational Testing Service,
    . Проверено 6 сентября 2011.
  • Freudenthal, H. (1983), Didactical phenomenology of mathematical structures
    , Dordrecht, The Netherlands: Reidel
  • Frobisher, Len (1999), Anthony Orton, ed., Primary School Children»s Knowledge of Odd and Even Numbers
    , London: Cassell, с. 31–48
  • Gouvêa, Fernando Quadros (1997),
    p-adic numbers: an introduction
    (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4
  • Gowers, Timothy (2002), Mathematics: A Very Short Introduction
    , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-285361-5
  • Graduate Management Admission Council (September 2005), The Official Guide for GMAT Review
    (11th ed.), McLean, VA: Graduate Management Admission Council, ISBN 0-9765709-0-4
  • Grimes, Joseph E. (1975), The Thread of Discourse
    , Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-X
  • Hartsfield, Nora & Ringel, Gerhard (2003), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction
    , Mineola: Courier Dover, ISBN 0-486-43232-7
  • Hill, Heather C.; Blunk, Merrie L.; Charalambous, Charalambos Y. & Lewis, Jennifer M. (2008), «Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study «, Cognition and Instruction
    Т. 26 (4): 430–511, DOI 10.1080/07370000802177235
  • Hohmann, George (25 October 2007), Companies let market determine new name
    , с. P1C, Factiva CGAZ000020071027e3ap0001l
  • Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, 2005 Edition
    , Simon and Schuster, ISBN 0-7432-6035-X
  • Keith, Annie (2006), Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers
    , IAP, ISBN 1-59311-495-8
  • Krantz, Steven George (2001), Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry
    , CRC Press, ISBN 1-58488-052-X
  • Levenson, Esther; Tsamir, Pessia & Tirosh, Dina (2007), «Neither even nor odd: Sixth grade students» dilemmas regarding the parity of zero «, The Journal of Mathematical Behavior
    Т. 26 (2): 83–95, DOI 10.1016/j.jmathb.2007.05.004
  • Lichtenberg, Betty Plunkett (November 1972), «Zero is an even number», The Arithmetic Teacher
    Т. 19 (7): 535–538
  • Lorentz, Richard J. (1994), Recursive Algorithms
    , Intellect Books, ISBN 1-56750-037-4
  • Lovas, William & Pfenning, Frank (22 January 2008), «A Bidirectional Refinement Type System for LF «, Electronic Notes in Theoretical Computer Science
    Т. 196: 113–128, doi :10.1016/j.entcs.2007.09.021 ,
    . Проверено 16 июня 2012.
  • Lovász, László ; Pelikán, József & Vesztergombi, Katalin L. (2003), Discrete Mathematics: Elementary and Beyond
    , Springer, ISBN 0-387-95585-2
  • Morgan, Frank (5 April 2001), Old Coins
    , The Mathematical Association of America,
    . Проверено 22 августа 2009.
  • Nipkow, Tobias; Paulson, Lawrence C. & Wenzel, Markus (2002), Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic
    , Springer, ISBN 3-540-43376-7
  • Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke & Willmes, Klaus (July 2004), «Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect «, The Quarterly Journal of Experimental Psychology A
    Т. 57 (5): 835–863, DOI 10.1080/02724980343000512
  • Partee, Barbara Hall (1978), Fundamentals of Mathematics for Linguistics
    , Dordrecht: D. Reidel,

Сомневаетесь в ответе?

Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «0 четное число или нет? …» по предмету 📘 Информатика, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.

Смотреть другие ответы

Четная функция.

Четной
называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x
.

x
выполняется равенство f
(–x
) = f
(x
). Знак x
не влияет на знак y
.

График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).

Примеры четной функции:

y
= cos x

y
= x
2

y
= –x
2

y
= x
4

y
= x
6

y
= x
2 + x

Пояснение:
Возьмем функцию y
= x
2 или y
= –x
2 .
При любом значении x
функция положительная. Знак x
не влияет на знак y
. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.

Нечетная функция.

Нечетной
называется функция, знак которой меняется при изменении знака x
.

Говоря иначе, для любого значения x
выполняется равенство f
(–x
) = –f
(x
).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).

Примеры нечетной функции:

y
= sin x

y
= x
3

y
= –x
3

Пояснение:

Возьмем функцию y = –x
3 .
Все значения у
в ней будут со знаком минус. То есть знак x
влияет на знак y
. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f
(–x
) = –f
(x
).
График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.

Свойства четной и нечетной функций:

ПРИМЕЧАНИЕ:

Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у
= √х
не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.

Периодические функции.

Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями
. То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.

Функция
— это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у
от переменной x
, если каждому значению х
соответствует единственное значение у
. Переменную х
называют независимой переменной или аргументом. Переменную у
называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x
) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y
), образуют область значений функции.

Графиком функции
называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x
, а по оси ординат откладываются значения переменной y
. Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!

Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции
.

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x
(переменной x
), при которых функция y = f(x)
определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y
, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции
.

Значения х
, при которых y=0
, называется нулями функции
. Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.

3) Промежутки знакопостоянства функции
.

Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x
, на которых значения функции y
либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.

4) Монотонность функции
.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции
.

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х
f(-x) = f(x)
. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох
из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x
). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Четная функция

1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a
принадлежит области определения, то точка -a
также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x
f(-x)=f(x)

3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция
обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x
, принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)

3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида
не являются ни четными, ни нечетными.

6) Ограниченная и неограниченная функции
.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции
.

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Функция f
называется периодической, если существует такое число, что при любом x
из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T)
. T
— это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

















Назад
Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

  • сформировать понятие чётности и нечётности
    функции, учить умению определять и использовать
    эти свойства при исследовании функций,
    построении графиков;
  • развивать творческую активность учащихся,
    логическое мышление, умение сравнивать,
    обобщать;
  • воспитывать трудолюбие, математическую
    культуру; развивать коммуникативные качества.

Оборудование:
мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

Формы работы:
фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

Информационные источники:


1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока.

2.
Проверка домашнего задания

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у
= f
(х
), f
(х
) =

б) f
(–2) = –3; f
(0) = –1; f
(5) = 69;

в) 1. D(f
) = [– 2; + ∞)
2. Е(f
) = [– 3; + ∞)
3. f
(х
) = 0 при х
~ 0,4
4. f
(х
) >0 при х
> 0,4 ; f
(х
)
х
0,4.
5. Функция возрастает при х
€ [– 2; + ∞)
6. Функция ограничена снизу.
7. у
наим = – 3, у
наиб не
существует
8. Функция непрерывна.

(Вы использовали алгоритм исследования
функции?) Слайд.

2. Таблицу, которую вам задавалась, проверим
по слайду.

Заполните таблицу

Область определения

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Координаты точек пересечения графика с
Оу

х = –5,
х = 2

х € (–5;3) U
U (2; ∞)

х € (–∞;–5) U
U (–3;2)

х ∞ –5,
х ≠ 2

х € (–5;3) U
U (2; ∞)

х € (–∞;–5) U
U (–3;2)

х ≠ –5,
х ≠ 2

х € (–∞; –5) U
U (2; ∞)

х € (–5; 2)

3.
Актуализация знаний

– Даны функции.
– Указать область определения для каждой
функции.
– Сравнить значение каждой функции для каждой
пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
– Для каких из данных функций в области
определения выполняются равенства f
(– х
)
= f
(х
), f
(– х
) = – f
(х
)? (полученные
данные занести в таблицу) Слайд

f
(1) и f
(– 1)
f
(2) и f
(– 2)
графики f
(– х
) = –f
(х
)
f
(– х
) = f
(х
)
1. f
(х
) =
2. f
(х
) = х
3
3. f
(х
) = | х
|
4. f
(х
) = 2х
– 3
5. f
(х
) =

х
≠ 0

6. f
(х
)=
х
>
–1

и не
опред.

4. Новый материал

– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё
одно свойство функции, незнакомое вам, но не
менее важное, чем остальные – это чётность и
нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные
и нечётные функции», наша задача – научиться
определять чётность и нечётность функции,
выяснить значимость этого свойства в
исследовании функций и построении графиков.
Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем
(стр. 110). Слайд

Опр. 1
Функция у
= f
(х
),
заданная на множестве Х называется чётной
,
если для любого значения х
Є Х выполняется равенство
f(–х)= f(х).
Приведите примеры.

Опр. 2
Функция у = f (х)
, заданная на
множестве Х называется нечётной
, если для
любого значения х
Є Х выполняется
равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и
«нечётные»?
Какие из данных функций будут чётными, как вы
думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?
Для любой функции вида у
= х n
, где n

– целое число можно утверждать, что функция
нечётна при n
– нечётном и функция чётна при n

– чётном.
– Функции вида у
= и у
= 2х
– 3 не являются ни
чётным, ни нечётными, т.к. не выполняются
равенства f
(– х
) = – f
(х
), f
(–
х
) = f
(х
)

Изучение вопроса о том, является ли функция
чётной или нечётной называют исследованием
функции на чётность.
Слайд

В определениях 1 и 2 шла речь о значениях
функции при х и – х, тем самым предполагается, что
функция определена и при значении х
, и при – х
.

Опр 3.
Если числовое множество вместе с
каждым своим элементом х содержит и
противоположный элемент –х, то множество Х
называют
симметричным множеством.

Примеры:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а , [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения –
симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f
) – несимметричное множество, то
функция какая?
– Таким образом, если функция у
= f
(х
)
– чётная или нечётная, то её область определения
D(f
) – симметричное множество. А верно ли
обратное утверждение, если область определения
функции симметричное множество, то она чётна,
либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества
области определения – это необходимое условие,
но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность?
Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции на
чётность

1. Установить, симметрична ли область
определения функции. Если нет, то функция не
является ни чётной, ни нечётной. Если да, то
перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f
(– х
).

3. Сравнить f
(– х
).и f
(х
):

  • если f
    (– х
    ).= f
    (х
    ), то
    функция чётная;
  • если f
    (– х
    ).= – f
    (х
    ), то
    функция нечётная;
  • если f
    (– х
    ) ≠ f
    (х
    ) и f
    (–
    х
    ) ≠ –f
    (х
    ), то функция не является ни
    чётной, ни нечётной.

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у
= х 5
+; б) у
= ; в) у
= .

Решение.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х) 5 + –
х5 –= – (х 5 +),

3) h(– х) = – h (х) => функция h(х)
= х 5 + нечётная.

б) у =,

у
= f
(х
), D(f) = (–∞; –9)?
(–9; +∞), несимметричное множество, значит
функция ни чётная, ни нечётная.

в) f
(х
) = , у = f (х),

1) D(f
) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Является ли симметричным заданное множество:
а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

а); б) у = х· (5 –
х 2). 2. Исследуйте на чётность функцию:

а) у =
х 2 · (2х – х 3), б) у =

3. На рис. построен график у
= f
(х
),
для всех х
, удовлетворяющих условию х
?
0.
Постройте график функции у
= f
(х
),
если у
= f
(х
) – чётная функция.

3. На рис. построен график у
= f
(х
),
для всех х, удовлетворяющих условию х? 0.
Постройте график функции у
= f
(х
),
если у
= f
(х
) – нечётная функция.

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом:
№11.11, 11.21,11.22;

Доказательство геометрического смысла
свойства чётности.

***(Задание варианта ЕГЭ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей
числовой прямой. Для всякого неотрицательного
значения переменной х значение этой функции
совпадает со значением функции g(х
)
= х
(х
+ 1)(х
+ 3)(х
– 7). Найдите
значение функции h(х
) = при х
= 3.

7. Подведение итогов

Функция
называется четной (нечетной), если для
любогои выполняется равенство

.

График четной
функции симметричен относительно оси

.

График нечетной
функции симметричен относительно начала
координат.

Пример 6.2.

Исследовать на четность или нечетность
функции

1)

;
2)
;
3)
.

Решение
.

1) Функция определена
при

.
Найдем
.

Т.е.

.
Значит, данная функция является четной.

2) Функция определена
при

Т.е.

.
Таким образом, данная функция нечетная.

3) функция определена
для
,
т.е. для

,

.
Поэтому функция не является ни четной,
ни нечетной. Назовем ее функцией общего
вида.

3. Исследование функции на монотонность.

Функция

называется возрастающей (убывающей) на
некотором интервале, если в этом интервале
каждому большему значению аргумента
соответствует большее (меньшее) значение
функции.

Функции возрастающие
(убывающие) на некотором интервале
называются монотонными.

Если функция

дифференцируема на интервале
и имеет положительную (отрицательную)
производную
,
то функция
возрастает (убывает) на этом интервале.

Пример 6.3
.
Найти интервалы монотонности функций

1)

;
3)
.

Решение
.

1) Данная функция
определена на всей числовой оси. Найдем
производную
.

Производная равна
нулю, если

и
.
Область определения – числовая ось,
разбивается точками
,
на интервалы. Определим знак производной
в каждом интервале.

В интервале

производная отрицательна, функция на
этом интервале убывает.

В интервале

производная положительна, следовательно,
функция на этом интервале возрастает.

2) Данная функция
определена, если

или

.

Определяем знак
квадратного трехчлена в каждом интервале.

Таким образом,
область определения функции

Найдем производную

,
,
если
,
т.е.
,
но
.
Определим знак производной в интервалах
.

В интервале

производная отрицательна, следовательно,
функция убывает на интервале
.
В интервале
производная положительна, функция
возрастает на интервале
.

4. Исследование функции на экстремум.

Точка

называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует такая окрестность точки,
что для всех
из этой окрестности выполняется
неравенство

.

Точки максимума
и минимума функции называются точками
экстремума.

Если функция

в точкеимеет экстремум, то производная функции
в этой точке равна нулю или не существует
(необходимое условие существования
экстремума).

Точки, в которых
производная равна нулю или не существует
называются критическими.

5. Достаточные условия существования экстремума.

Правило 1
.
Если при переходе (слева направо) через
критическую точку
производная
меняет знак с «+» на «–», то в точкефункция
имеет максимум; если с «–» на «+», то
минимум; если
не меняет знак, то экстремума нет.

Правило 2
.
Пусть в точке

первая производная функции
равна нулю
,
а вторая производная существует и
отлична от нуля. Если
,
то– точка максимума, если
,
то– точка минимума функции.

Пример

6.4
.
Исследовать на максимум и минимум
функции:

1)

;
2)
;
3)
;

4)

.

Решение.

1) Функция определена
и непрерывна на интервале

.

Найдем производную

и решим уравнение
,
т.е.
.Отсюда
– критические точки.

Определим знак
производной в интервалах
,
.

При переходе через
точки

и
производная меняет знак с «–» на «+»,
поэтому по правилу 1
– точки минимума.

При переходе через
точку

производная меняет знак с «+» на «–»,
поэтому
– точка максимума.

,

.

2) Функция определена
и непрерывна в интервале

.
Найдем производную
.

Решив уравнение

,
найдем
и
– критические точки. Если знаменатель
,
т.е.
,
то производная не существует. Итак,
– третья критическая точка. Определим
знак производной в интервалах.

Следовательно,
функция имеет минимум в точке

,
максимум в точках
и
.

3) Функция определена
и непрерывна, если

,
т.е. при
.

Найдем производную

.

Найдем критические
точки:


Окрестности точек

не принадлежат области определения,
поэтому они не являются т. экстремума.
Итак, исследуем критические точки
и
.

4) Функция определена
и непрерывна на интервале

.
Используем правило 2. Найдем производную
.

Найдем критические
точки:

Найдем вторую
производную

и определим ее знак в точках

В точках

функция имеет минимум.

В точках

функция имеет максимум.

19. Задачи на теорию чисел


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения


Задание
1

#1075

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ряд выписаны числа от (1) до (22). Можно ли между ними расставить знаки “(+)( )и “(-)( )так, чтобы в результате получился (0)?

Среди чисел (1, 2, 3, …, 22) всего (11) четных и (11) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как (0) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет


Задание
2

#1076

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ряд выписаны числа от (1) до (98). Можно ли между ними расставить знаки “(+)( )и “(-)( )так, чтобы в результате получилось (2)?

Среди чисел (1,2,3, …, 98) всего (49) четных и (49) нечетных, то есть нечетных чисел нечетное количество, поэтому как бы мы ни поставили знаки в результате всегда получится нечетное число. А так как (2) – четное число, то так расставить знаки нельзя.

Ответ:

Нет


Задание
3

#1077

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли разменять (1000) рублей купюрами по (5, 25, 125) рублей так, чтобы всего оказалось (101) купюра? (купюры в (5, 25, 125) рублей бывают)

Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять (1000) рублей.

Ответ:

Нет


Задание
4

#1078

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли разменять (600) рублей купюрами по (7, 49, 73) рубля так, чтобы всего оказалось (17) купюр? (купюры в (7, 49, 73) рубля бывают)

Так как у нас купюры только нечетного номинала, и их должно быть нечетное количество, то мы сможем ими разменять только нечетную сумму рублей, поэтому не сможем разменять (600) рублей.

Ответ:

Нет


Задание
5

#1079

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Сумму двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число (123456789)?

Предположим, что такое может быть. Пусть (a) и (b) – целые числа из нашей задачи, тогда ((a+b)cdot acdot b=123456789). Так как число (123456789) – нечетное, то (a), (b) – нечетные, но тогда число ((a+b)) – четное, но тогда число ((a+b)cdot acdot b) – четное, но (123456789) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.

Ответ:

Нет


Задание
6

#1080

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли в результате получиться число (10011001)?

Предположим, что такое может быть. Пусть (a) и (b) – целые числа из нашей задачи, тогда ((a-b)cdot acdot b=10011001). Так как число (10011001) – нечетное, то (a), (b) – нечетные, но тогда число ((a-b)) – четное, но тогда число ((a-b)cdot acdot b) – четное, но (10011001) – нечетное, следовательно получили противоречие, а значит такого быть не могло.

Ответ:

Нет


Задание
7

#1081

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли представить (1) в виде суммы четырех дробей (dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}+dfrac{1}{d}), где (a, b, c,
d)
– нечетные натуральные числа?

Предположим, что можно. Тогда [dfrac{1}{a}+dfrac{1}{b}+dfrac{1}{c}+dfrac{1}{d}=1,] приведем в левой части все к общему знаменателю:
[dfrac{bcd+acd+abd+bcd}{abcd}=1qquadRightarrowqquad bcd+acd+abd+bcd=abcd.] Но так как (a, b, c, d) – нечетные натуральные числа, то получаем, что четное число равно нечетному – противоречие, значит так представить (1) нельзя.

Ответ:

Нет

Задачи на четность — обязательная часть ЕГЭ по математике. В аттестационном испытании они традиционно встречаются из года в год. Знать алгоритм решения и оперативно находить правильный ответ в задачах ЕГЭ на четность должны учащиеся с любым уровнем подготовки.

Если подобные задания вызывают у вас сложности, обратитесь к образовательному порталу «Школково». Мы поможем восполнить пробелы в знаниях.

В соответствующем разделе представлены задачи на четность и нечетность, схожие с теми, которые встречаются в ЕГЭ. Усвоив алгоритм их решения и попрактиковавшись, выпускник сможет рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи экзамена.

Необходимо запомнить!

Приступая к решению подобных задач, стоит освежить в памяти основные свойства четных и нечетных чисел. Их несколько:

  1. Если как минимум один множитель произведения двух или нескольких чисел является четным, то четным будет и все произведение.
  2. Если каждый множитель произведения двух или более чисел является нечетным, то и все произведение будет нечетным.
  3. Сумма четных чисел является четным числом.
  4. Сумма четного и нечетного чисел — всегда число нечетное.

Как подготовиться к экзамену?

Для того чтобы задачи на четность не вызывали у вас затруднений, рекомендуем изучить информацию, собранную специалистами образовательного портала «Школково». Здесь представлен весь необходимый теоретический материал для подготовки к сдаче аттестационного испытания.

Кроме того, в соответствующем разделе собраны упражнения для отработки полученных знаний. Для каждого задания специалисты «Школково» создали алгоритм решения и привели правильный ответ. Выпускники имеют возможность практиковаться в выполнении задач на четность и нечетность чисел и функции в режиме онлайн.

0 четное или нет в егэ

Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике

Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике

Нули функции

Нулём функции называется то значение х
, при котором функция обращается в 0, то есть f(x)=0.

Нули – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

Четность функции

Функция называется чётной, если для любого х
из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x)


Четная функция симметрична относительно оси Оу

Нечетность функции

Функция называется нечётной, если для любого х
из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).


Нечетная функция симметрична относительно начала координат.

Функция которая не является ни чётной,ни нечётной называется функцией общего вида.

Возрастание функции

Функция f(x) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.

Убывание функции

Функция f(x) называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.

Промежутки, на которых функция либо только убывает, либо только возрастает, называются промежутками монотонности
. Функция f(x) имеет 3 промежутка монотонности:

Находят промежутки монотонности с помощью сервиса Интервалы возрастания и убывания функции

Локальный максимум

Точка х 0
называется точкой локального максимума, если для любого х
из окрестности точки х 0
выполняется неравенство: f(x 0) > f(x)

Локальный минимум

Точка х 0
называется точкой локального минимума, если для любого х
из окрестности точки х 0
выполняется неравенство: f(x 0)
Точки локального максимума и точки локального минимума называются точками локального экстремума.


точки локального экстремума.

Периодичность функции

Функция f(x) называется периодичной, с периодом Т
, если для любого х
выполняется равенство f(x+T) = f(x) .

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только отрицательна, называются промежутками знакопостоянства.

Непрерывность функции

Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел функции при x → x 0 равен значению функции в этой точке, т.е. .

Точки разрыва

Точки, в которых нарушено условие непрерывности называются точками разрыва функции.


x 0
— точка разрыва.

Общая схема для построения графиков функций

1. Найти область определения функции D(y).

2. Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3. Исследовать функцию на четность или нечетность.

4. Исследовать функцию на периодичность.

5. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7. Найти асимптоты функции.

8. По результатам исследования построить график.

Пример:
Исследовать функцию и построить ее график: y = x 3 – 3x

1) Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения D(y) = (-∞; +∞).

2) Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ: решим уравнение x 3 – 3x = 0

с осью ОY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Выясним, не является ли функция четной или нечетной:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = — (x 3 – 3x) = -y(x)

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4) Функция непериодична.

5) Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: y’ = 3x 2 — 3.

Критические точки: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции: y’’ = 6x

Критические точки: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Функция непрерывна, асимптот у нее нет.

8) По результатам исследования построим график функции.

четной
, если при всех (x)
из ее области определения верно: (f(-x)=f(x))
.

График четной функции симметричен относительно оси (y)
:

Пример: функция (f(x)=x^2+cos x)
является четной, т.к. (f(-x)=(-x)^2+cos{(-x)}=x^2+cos x=f(x))
.

(blacktriangleright)
Функция (f(x))
называется нечетной
, если при всех (x)
из ее области определения верно: (f(-x)=-f(x))
.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

Пример: функция (f(x)=x^3+x)
является нечетной, т.к. (f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x))
.

(blacktriangleright)
Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

Например, функция (f(x)=x^2-x)
является суммой четной функции (f_1=x^2)
и нечетной (f_2=-x)
.

(blacktriangleright)
Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности — четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности — нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций — четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций — нечетная функция.

5) Если (f(x))
— четная функция, то уравнение (f(x)=c (cin
mathbb{R})
) имеет единственный корень тогда и только когда, когда (x=0)
.

6) Если (f(x))
— четная или нечетная функция, и уравнение (f(x)=0)
имеет корень (x=b)
, то это уравнение обязательно будет иметь второй корень (x=-b)
.

(blacktriangleright)
Функция (f(x))
называется периодической на (X)
, если для некоторого числа (Tne 0)
выполнено (f(x)=f(x+T))
, где (x,
x+Tin X)
. Наименьшее (T)
, для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.

У периодической функции любое число вида (nT)
, где (nin mathbb{Z})
также будет являться периодом.

Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций (f(x)=sin x)
и (f(x)=cos x)
главный период равен (2pi)
, у функций (f(x)=mathrm{tg},x)
и (f(x)=mathrm{ctg},x)
главный период равен (pi)
.

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной (T)
(главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

(blacktriangleright)
Область определения (D(f))
функции (f(x))
— это множество, состоящее из всех значений аргумента (x)
, при которых функция имеет смысл (определена).

Пример: у функции (f(x)=sqrt x+1)
область определения: (xin

Задание
1
#6364

Уровень задания: Равен ЕГЭ

При каких значениях параметра (a)
уравнение

имеет единственное решение?

Заметим, что так как (x^2)
и (cos x)
— четные функции, то если уравнение будет иметь корень (x_0)
, оно также будет иметь и корень (-x_0)
.
Действительно, пусть (x_0)
– корень, то есть равенство (2x_0^2+amathrm{tg},(cos x_0)+a^2=0)
верно. Подставим (-x_0)
: (2
(-x_0)^2+amathrm{tg},(cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+amathrm{tg},(cos
x_0)+a^2=0)
.

Таким образом, если (x_0ne 0)
, то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, (x_0=0)
. Тогда:

Мы получили два значения параметра (a)
. Заметим, что мы использовали то, что (x=0)
точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра (a)
в исходное уравнение и проверить, при каких именно (a)
корень (x=0)
действительно будет единственным.

1) Если (a=0)
, то уравнение примет вид (2x^2=0)
. Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень (x=0)
. Следовательно, значение (a=0)
нам подходит.

2) Если (a=-mathrm{tg},1)
, то уравнение примет вид
Перепишем уравнение в виде
Так как (-1leqslant cos xleqslant 1)
, то (-mathrm{tg},1leqslant mathrm{tg},(cos x)leqslant
mathrm{tg},1)
. Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку ([-mathrm{tg}^2,1; mathrm{tg}^2,1])
.

Так как (x^2geqslant 0)
, то левая часть уравнения (*) больше или равна (0+
mathrm{tg}^2,1)
.

Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны (mathrm{tg}^2,1)
. А это значит, что [begin{cases} 2x^2+mathrm{tg}^2,1=mathrm{tg}^2,1
mathrm{tg},1cdot mathrm{tg},(cos x)=mathrm{tg}^2,1
end{cases}
quadLeftrightarrowquad begin{cases} x=0
mathrm{tg},(cos x)=mathrm{tg},1
end{cases}quadLeftrightarrowquad x=0]
Следовательно, значение (a=-mathrm{tg},1)
нам подходит.

Ответ:

(ain {-mathrm{tg},1;0})

Задание
2
#3923

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра (a)
, при каждом из которых график функции

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено (f(-x)=-f(x))
для любого (x)
из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено (f(-x)=-f(x).)

[begin{aligned}
&3mathrm{tg},left(-dfrac{ax}5right)+2sin dfrac{8pi a+3x}4=
-left(3mathrm{tg},left(dfrac{ax}5right)+2sin dfrac{8pi
a-3x}4right)quad Rightarrowquad -3mathrm{tg},dfrac{ax}5+2sin
dfrac{8pi a+3x}4=
-left(3mathrm{tg},left(dfrac{ax}5right)+2sin dfrac{8pi
a-3x}4right) quad Rightarrow
Rightarrowquad &sin dfrac{8pi a+3x}4+sin dfrac{8pi a-3x}4=0
quad Rightarrow quad2sin dfrac12left(dfrac{8pi
a+3x}4+dfrac{8pi a-3x}4right)cdot cos dfrac12
left(dfrac{8pi a+3x}4-dfrac{8pi a-3x}4right)=0 quad
Rightarrowquad sin (2pi a)cdot cos frac34 x=0
end{aligned}]

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех (x)
из области определения (f(x))
, следовательно, (sin(2pi a)=0 Rightarrow
a=dfrac n2, ninmathbb{Z})
.

Ответ:

(dfrac n2, ninmathbb{Z})

Задание
3
#3069

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра (a)
, при каждом из которых уравнение
имеет 4 решения, где (f)
– четная периодическая с периодом (T=dfrac{16}3)
функция, определенная на всей числовой прямой, причем (f(x)=ax^2)
при (0leqslant xleqslant dfrac83.)

(Задача от подписчиков)

Так как (f(x))
– четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при (-dfrac83leqslant
xleqslant 0)
(f(x)=ax^2)
. Таким образом, при (-dfrac83leqslant
xleqslant dfrac83)
, а это отрезок длиной (dfrac{16}3)
, функция (f(x)=ax^2)
.

1) Пусть (a>0)
. Тогда график функции (f(x))
будет выглядеть следующим образом:


Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график (g(x)=|a+2|cdot sqrtx)
проходил через точку (A)
:


Следовательно, [dfrac{64}9a=|a+2|cdot sqrt8 quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned} &9(a+2)=32a
&9(a+2)=-32a end{aligned} end{gathered}right.
quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned} &a=dfrac{18}{23}
&a=-dfrac{18}{41} end{aligned} end{gathered}right.]
Так как (a>0)
, то подходит (a=dfrac{18}{23})
.

2) Пусть (a

Нужно, чтобы график (g(x))
прошел через точку (B)
: [dfrac{64}9a=|a+2|cdot sqrt{-8} quadLeftrightarrowquad
left[begin{gathered}begin{aligned} &a=dfrac{18}{23}
&a=-dfrac{18}{41} end{aligned} end{gathered}right.]
Так как (a

3) Случай, когда (a=0)
, не подходит, так как тогда (f(x)=0)
при всех (x)
, (g(x)=2sqrtx)
и уравнение будет иметь только 1 корень.

Ответ:

(ain left{-dfrac{18}{41};dfrac{18}{23}right})

Задание
4
#3072

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения (a)
, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

(Задача от подписчиков)

Перепишем уравнение в виде
и рассмотрим две функции: (g(x)=7sqrt{2x^2+49})
и (f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a)
.
Функция (g(x))
является четной, имеет точку минимума (x=0)
(причем (g(0)=49)
).
Функция (f(x))
при (x>0)
является убывающей, а при (xДействительно, при (x>0)
второй модуль раскроется положительно ((|x|=x)
), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, (f(x))
будет равно (kx+A)
, где (A)
– выражение от (a)
, а (k)
равно либо (-9)
, либо (-3)
. При (xНайдем значение (f)
в точке максимума:

Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций (f)
и (g)
имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно:
]

Ответ:

(ain {-7}cup)

Задание
5
#3912

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра (a)
, при каждом из которых уравнение

имеет шесть различных решений.

Сделаем замену ((sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t)
, (t>0)
. Тогда уравнение примет вид
Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение ((*))
может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0)
может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение ((*))
имеет два различных решения (положительных!, так как (t)
должно быть больше нуля) (t_1)
и (t_2)
, то, сделав обратную замену, мы получим: [left[begin{gathered}begin{aligned}
&(sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_1
&(sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_2end{aligned}end{gathered}right.]
Так как любое положительное число можно представить как (sqrt2)
в какой-то степени, например, (t_1=(sqrt2)^{log_{sqrt2} t_1})
, то первое уравнение совокупности перепишется в виде
Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение ((*))
должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение ((*))
будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.

Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.

1)
Чтобы уравнение ((*))
имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным:

2)
Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как (t>0)
). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: [begin{cases} 12-a>0-(a-10)>0end{cases}quadLeftrightarrowquad a

Таким образом, мы уже обеспечили себе два различных положительных корня (t_1)
и (t_2)
.

3)
Давайте посмотрим на такое уравнение
При каких (t)
оно будет иметь три различных решения?
Рассмотрим функцию (f(x)=x^3-3x^2+4)
.
Можно разложить на множители:
Следовательно, ее нули: (x=-1;2)
.
Если найти производную (f»(x)=3x^2-6x)
, то мы получим две точки экстремума (x_{max}=0, x_{min}=2)
.
Следовательно, график выглядит так:


Мы видим, что любая горизонтальная прямая (y=k)
, где (0

(x^3-3x^2+4=log_{sqrt2} t)

имело три различных решения, нужно, чтобы (0
Таким образом, нужно: [begin{cases} 0 Давайте также сразу заметим, что если числа (t_1)
и (t_2)
различны, то и числа (log_{sqrt2}t_1)
и (log_{sqrt2}t_2)
будут различны, значит, и уравнения (x^3-3x^2+4=log_{sqrt2} t_1)
и (x^3-3x^2+4=log_{sqrt2} t_2)
будут иметь несовпадающие между собой корни.
Систему ((**))
можно переписать так: [begin{cases} 1

Таким образом, мы определили, что оба корня уравнения ((*))
должны лежать в интервале ((1;4))
. Как записать это условие?
В явном виде выписывать корни мы не будем.
Рассмотрим функцию (g(t)=t^2+(a-10)t+12-a)
. Ее график – парабола с ветвями вверх, которая имеет две точки пересечения с осью абсцисс (это условие мы записали в пункте 1)). Как должен выглядеть ее график, чтобы точки пересечения с осью абсцисс были в интервале ((1;4))
? Так:


Во-первых, значения (g(1))
и (g(4))
функции в точках (1)
и (4)
должны быть положительными, во-вторых, вершина параболы (t_0)
должна также находиться в интервале ((1;4))
. Следовательно, можно записать систему: [begin{cases}
1+a-10+12-a>0
4^2+(a-10)cdot 4+12-a>0
1(a)
всегда имеет как минимум один корень (x=0)
. Значит, для выполнения условия задачи нужно, чтобы уравнение

имело четыре различных корня, отличных от нуля, представляющих вместе с (x=0)
арифметическую прогрессию.

Заметим, что функция (y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7))
является четной, значит, если (x_0)
является корнем уравнения ((*))
, то и (-x_0)
будет являться его корнем. Тогда необходимо, чтобы корнями этого уравнения были упорядоченные по возрастанию числа: (-2d, -d, d, 2d)
(тогда (d>0)
). Именно тогда данные пять чисел будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью (d)
).

Чтобы этими корнями являлись числа (-2d, -d, d, 2d)
, нужно, чтобы числа (d^{,2}, 4d^{,2})
являлись корнями уравнения (25t^2+25(a-1)t-4(a-7)=0)
. Тогда по теореме Виета:

Перепишем уравнение в виде
и рассмотрим две функции: (g(x)=20a-a^2-2^{x^2+2})
и (f(x)=13|x|-2|5x+12a|)
.
Функция (g(x))
имеет точку максимума (x=0)
(причем (g_{text{верш}}=g(0)=-a^2+20a-4)
):
(g»(x)=-2^{x^2+2}cdot ln 2cdot 2x)
. Ноль производной: (x=0)
. При (x0)
, при (x>0)
: (g»
Функция (f(x))
при (x>0)
является возрастающей, а при (x
Действительно, при (x>0)
первый модуль раскроется положительно ((|x|=x)
), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, (f(x))
будет равно (kx+A)
, где (A)
– выражение от (a)
, а (k)
равно либо (13-10=3)
, либо (13+10=23)
. При (x
Найдем значение (f)
в точке минимума:

Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций (f)
и (g)
имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно:
Решая данную совокупность систем, получим ответ: ]

Ответ:

(ain {-2}cup)

















Назад
Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

  • сформировать понятие чётности и нечётности
    функции, учить умению определять и использовать
    эти свойства при исследовании функций,
    построении графиков;
  • развивать творческую активность учащихся,
    логическое мышление, умение сравнивать,
    обобщать;
  • воспитывать трудолюбие, математическую
    культуру; развивать коммуникативные качества.

Оборудование:
мультимедийная установка, интерактивная доска, раздаточный материал.

Формы работы:
фронтальная и групповая с элементами поисково-исследовательской деятельности.

Информационные источники:


1.Алгебра9класс А.Г Мордкович. Учебник.
2.Алгебра 9класс А.Г Мордкович. Задачник.
3.Алгебра 9 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Постановка целей и задач урока.

2.
Проверка домашнего задания

№10.17 (Задачник 9кл. А.Г. Мордкович).

а) у
= f
(х
), f
(х
) =

б) f
(–2) = –3; f
(0) = –1; f
(5) = 69;

в) 1. D(f
) = [– 2; + ∞)
2. Е(f
) = [– 3; + ∞)
3. f
(х
) = 0 при х
~ 0,4
4. f
(х
) >0 при х
> 0,4 ; f
(х
)
х
0,4.
5. Функция возрастает при х
€ [– 2; + ∞)
6. Функция ограничена снизу.
7. у
наим = – 3, у
наиб не
существует
8. Функция непрерывна.

(Вы использовали алгоритм исследования
функции?) Слайд.

2. Таблицу, которую вам задавалась, проверим
по слайду.

Заполните таблицу

Область определения

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Координаты точек пересечения графика с
Оу

х = –5,
х = 2

х € (–5;3) U
U (2; ∞)

х € (–∞;–5) U
U (–3;2)

х ∞ –5,
х ≠ 2

х € (–5;3) U
U (2; ∞)

х € (–∞;–5) U
U (–3;2)

х ≠ –5,
х ≠ 2

х € (–∞; –5) U
U (2; ∞)

х € (–5; 2)

3.
Актуализация знаний

– Даны функции.
– Указать область определения для каждой
функции.
– Сравнить значение каждой функции для каждой
пары значения аргумента: 1 и – 1; 2 и – 2.
– Для каких из данных функций в области
определения выполняются равенства f
(– х
)
= f
(х
), f
(– х
) = – f
(х
)? (полученные
данные занести в таблицу) Слайд

f
(1) и f
(– 1)
f
(2) и f
(– 2)
графики f
(– х
) = –f
(х
)
f
(– х
) = f
(х
)
1. f
(х
) =
2. f
(х
) = х
3
3. f
(х
) = | х
|
4. f
(х
) = 2х
– 3
5. f
(х
) =

х
≠ 0

6. f
(х
)=
х
>
–1

и не
опред.

4. Новый материал

– Выполняя данную работу, ребята мы выявили ещё
одно свойство функции, незнакомое вам, но не
менее важное, чем остальные – это чётность и
нечетность функции. Запишите тему урока: «Чётные
и нечётные функции», наша задача – научиться
определять чётность и нечётность функции,
выяснить значимость этого свойства в
исследовании функций и построении графиков.
Итак, найдём определения в учебнике и прочитаем
(стр. 110). Слайд

Опр. 1
Функция у
= f
(х
),
заданная на множестве Х называется чётной
,
если для любого значения х
Є Х выполняется равенство
f(–х)= f(х).
Приведите примеры.

Опр. 2
Функция у = f (х)
, заданная на
множестве Х называется нечётной
, если для
любого значения х
Є Х выполняется
равенство f(–х)= –f(х). Приведите примеры.

Где мы встречались с терминами «четные» и
«нечётные»?
Какие из данных функций будут чётными, как вы
думаете? Почему? Какие нечётными? Почему?
Для любой функции вида у
= х n
, где n

– целое число можно утверждать, что функция
нечётна при n
– нечётном и функция чётна при n

– чётном.
– Функции вида у
= и у
= 2х
– 3 не являются ни
чётным, ни нечётными, т.к. не выполняются
равенства f
(– х
) = – f
(х
), f
(–
х
) = f
(х
)

Изучение вопроса о том, является ли функция
чётной или нечётной называют исследованием
функции на чётность.
Слайд

В определениях 1 и 2 шла речь о значениях
функции при х и – х, тем самым предполагается, что
функция определена и при значении х
, и при – х
.

Опр 3.
Если числовое множество вместе с
каждым своим элементом х содержит и
противоположный элемент –х, то множество Х
называют
симметричным множеством.

Примеры:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) – симметричные множества, а , [–5;4] – несимметричные.

– У чётных функций область определения –
симметричное множество? У нечётных?
– Если же D(f
) – несимметричное множество, то
функция какая?
– Таким образом, если функция у
= f
(х
)
– чётная или нечётная, то её область определения
D(f
) – симметричное множество. А верно ли
обратное утверждение, если область определения
функции симметричное множество, то она чётна,
либо нечётна?
– Значит наличие симметричного множества
области определения – это необходимое условие,
но недостаточное.
– Так как же исследовать функцию на четность?
Давайте попробуем составить алгоритм.

Слайд

Алгоритм исследования функции на
чётность

1. Установить, симметрична ли область
определения функции. Если нет, то функция не
является ни чётной, ни нечётной. Если да, то
перейти к шагу 2 алгоритма.

2. Составить выражение для f
(– х
).

3. Сравнить f
(– х
).и f
(х
):

  • если f
    (– х
    ).= f
    (х
    ), то
    функция чётная;
  • если f
    (– х
    ).= – f
    (х
    ), то
    функция нечётная;
  • если f
    (– х
    ) ≠ f
    (х
    ) и f
    (–
    х
    ) ≠ –f
    (х
    ), то функция не является ни
    чётной, ни нечётной.

Примеры:

Исследовать на чётность функцию а) у
= х 5
+; б) у
= ; в) у
= .

Решение.

а) h(х) = х 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симметричное множество.

2) h (– х) = (–х) 5 + –
х5 –= – (х 5 +),

3) h(– х) = – h (х) => функция h(х)
= х 5 + нечётная.

б) у =,

у
= f
(х
), D(f) = (–∞; –9)?
(–9; +∞), несимметричное множество, значит
функция ни чётная, ни нечётная.

в) f
(х
) = , у = f (х),

1) D(f
) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Является ли симметричным заданное множество:
а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?

а); б) у = х· (5 –
х 2). 2. Исследуйте на чётность функцию:

а) у =
х 2 · (2х – х 3), б) у =

3. На рис. построен график у
= f
(х
),
для всех х
, удовлетворяющих условию х
?
0.
Постройте график функции у
= f
(х
),
если у
= f
(х
) – чётная функция.

3. На рис. построен график у
= f
(х
),
для всех х, удовлетворяющих условию х? 0.
Постройте график функции у
= f
(х
),
если у
= f
(х
) – нечётная функция.

Взаимопроверка по слайду.

6. Задание на дом:
№11.11, 11.21,11.22;

Доказательство геометрического смысла
свойства чётности.

***(Задание варианта ЕГЭ).

1. Нечётная функция у = f(х) определена на всей
числовой прямой. Для всякого неотрицательного
значения переменной х значение этой функции
совпадает со значением функции g(х
)
= х
(х
+ 1)(х
+ 3)(х
– 7). Найдите
значение функции h(х
) = при х
= 3.

7. Подведение итогов

Функция
называется четной (нечетной), если для
любогои выполняется равенство

.

График четной
функции симметричен относительно оси

.

График нечетной
функции симметричен относительно начала
координат.

Пример 6.2.

Исследовать на четность или нечетность
функции

1)

;
2)
;
3)
.

Решение
.

1) Функция определена
при

.
Найдем
.

Т.е.

.
Значит, данная функция является четной.

2) Функция определена
при

Т.е.

.
Таким образом, данная функция нечетная.

3) функция определена
для
,
т.е. для

,

.
Поэтому функция не является ни четной,
ни нечетной. Назовем ее функцией общего
вида.

3. Исследование функции на монотонность.

Функция

называется возрастающей (убывающей) на
некотором интервале, если в этом интервале
каждому большему значению аргумента
соответствует большее (меньшее) значение
функции.

Функции возрастающие
(убывающие) на некотором интервале
называются монотонными.

Если функция

дифференцируема на интервале
и имеет положительную (отрицательную)
производную
,
то функция
возрастает (убывает) на этом интервале.

Пример 6.3
.
Найти интервалы монотонности функций

1)

;
3)
.

Решение
.

1) Данная функция
определена на всей числовой оси. Найдем
производную
.

Производная равна
нулю, если

и
.
Область определения – числовая ось,
разбивается точками
,
на интервалы. Определим знак производной
в каждом интервале.

В интервале

производная отрицательна, функция на
этом интервале убывает.

В интервале

производная положительна, следовательно,
функция на этом интервале возрастает.

2) Данная функция
определена, если

или

.

Определяем знак
квадратного трехчлена в каждом интервале.

Таким образом,
область определения функции

Найдем производную

,
,
если
,
т.е.
,
но
.
Определим знак производной в интервалах
.

В интервале

производная отрицательна, следовательно,
функция убывает на интервале
.
В интервале
производная положительна, функция
возрастает на интервале
.

4. Исследование функции на экстремум.

Точка

называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует такая окрестность точки,
что для всех
из этой окрестности выполняется
неравенство

.

Точки максимума
и минимума функции называются точками
экстремума.

Если функция

в точкеимеет экстремум, то производная функции
в этой точке равна нулю или не существует
(необходимое условие существования
экстремума).

Точки, в которых
производная равна нулю или не существует
называются критическими.

5. Достаточные условия существования экстремума.

Правило 1
.
Если при переходе (слева направо) через
критическую точку
производная
меняет знак с «+» на «–», то в точкефункция
имеет максимум; если с «–» на «+», то
минимум; если
не меняет знак, то экстремума нет.

Правило 2
.
Пусть в точке

первая производная функции
равна нулю
,
а вторая производная существует и
отлична от нуля. Если
,
то– точка максимума, если
,
то– точка минимума функции.

Пример

6.4
.
Исследовать на максимум и минимум
функции:

1)

;
2)
;
3)
;

4)

.

Решение.

1) Функция определена
и непрерывна на интервале

.

Найдем производную

и решим уравнение
,
т.е.
.Отсюда
– критические точки.

Определим знак
производной в интервалах
,
.

При переходе через
точки

и
производная меняет знак с «–» на «+»,
поэтому по правилу 1
– точки минимума.

При переходе через
точку

производная меняет знак с «+» на «–»,
поэтому
– точка максимума.

,

.

2) Функция определена
и непрерывна в интервале

.
Найдем производную
.

Решив уравнение

,
найдем
и
– критические точки. Если знаменатель
,
т.е.
,
то производная не существует. Итак,
– третья критическая точка. Определим
знак производной в интервалах.

Следовательно,
функция имеет минимум в точке

,
максимум в точках
и
.

3) Функция определена
и непрерывна, если

,
т.е. при
.

Найдем производную

.

Найдем критические
точки:


Окрестности точек

не принадлежат области определения,
поэтому они не являются т. экстремума.
Итак, исследуем критические точки
и
.

4) Функция определена
и непрерывна на интервале

.
Используем правило 2. Найдем производную
.

Найдем критические
точки:

Найдем вторую
производную

и определим ее знак в точках

В точках

функция имеет минимум.

В точках

функция имеет максимум.