519514 решу егэ математика профиль

Егэ по математике профиль пробные и тренировочные варианты по математике профильного уровня в формате егэ 2022 из различных источников. тренировочные
ЕГЭ по математике профиль

Пробные и тренировочные варианты по математике профильного уровня в формате ЕГЭ 2022 из различных источников.

 Тренировочные варианты ЕГЭ 2022 по математике (профиль)

Структура варианта КИМ ЕГЭ

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий:

– часть 1 содержит 11 заданий (задания 1–11) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;

– часть 2 содержит 7 заданий (задания 12–18) с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Задания части 1 направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Посредством заданий части 2 осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной деятельности и на творческом уровне.

Связанные страницы:

Решение и ответы заданий Варианта №8 из сборника ЕГЭ 2022 по математике (профильный уровень) И.В. Ященко. ГДЗ профиль для 11 класса. Полный разбор.

Задание 1.
Найдите корень уравнения log4 25x+7 = 3.

Задание 2.
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 16 шахматистов, среди которых 4 спортсмена из России, в том числе Фёдор Волков. Найдите вероятность того, что в первом туре Фёдор Волков будет играть с каким-либо шахматистом из России.

Задание 3.
Угол между биссектрисой CD и медианой СМ проведёнными из вершины прямого угла С треугольника АВС, равен 10°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Угол между биссектрисой CD и медианой СМ проведёнными из вершины прямого угла С треугольника АВС, равен 10°.

Задание 4.
Найдите значение выражения frac{a^{3,33}}{ a^{2,11}cdot a^{2,22}} при а = frac{2}{7}.

Задание 5.
Объём треугольной пирамиды равен 14. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 2:5, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Объём треугольной пирамиды равен 14.

Задание 6.
Прямая у = 9х + 6 является касательной к графику функции у = ах2 – 19х + 13. Найдите а.
Ответ задания: 28.

Задание 7.
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле l=sqrt{frac{Rh}{500}}, где 𝑅 = 6400 км – радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4 километра. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 24 км?
Ответ задания: 43,75.

Задание 8.
Первый садовый насос перекачивает 10 литров воды за 5 минут, второй насос перекачивает тот же объём воды за 7 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 72 литра воды?
Ответ задания: 21.

Задание 9.
На рисунке изображён график функции f(x) = ksqrt{x+p}. Найдите  f(0,25).

На рисунке изображён график функции f(x) = k<span class="katex-eq" data-katex-display="false"></span>sqrt{x+p}<span class="katex-eq" data-katex-display="false"></span>. Найдите значение х, при котором f(0,25).

Задание 10.
Игральный кубик бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 3. Какова вероятность того, что было сделано два броска? Ответ округлите до сотых.

Задание 11.
Найдите наибольшее значение функции у = 2х2 – 12х + 8lnх – 5 на отрезке [frac{12}{13};frac{14}{13}].

Задание 12.
а) Решите уравнение 7cosx – 4cos3x = 2√3sin2x.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–4π; –3π].

Ответ задания: a)frac{pi}{2}+pi k,k in Z;frac{pi}{3}+2pi n,n in Z;frac{2pi}{3}+2pi m,m in Z;б)-frac{11pi}{3};-frac{7pi}{2};-frac{10pi}{3}.

Задание 13.
Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине С. Высота пирамиды проходит через точку В.

а) Докажите, что середина ребра SA равноудалена от вершин В и С.
б) Найдите угол между плоскостью SBC и прямой, проходящей через середины
рёбер ВС и SA, если известно, что BS = 2AC.

Задание 14.
Решите неравенство log52(x4) – 28log0,04 (x2) ≤ 8.
Ответ задания: [–sqrt[4]{5}; –0,04]; [0,04; sqrt[4]{5}].

Задание 15.
Производство х тыс. единиц продукции обходится в q = 3х2 + 6х + 13 млн рублей в год. При цене р тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет рхq. При каком наименьшем значении р через пять лет суммарная прибыль может составить не менее 70 млн рублей при некотором значении х?
Ответ задания: 24.

Задание 16.
Точки A1, B1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1 пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ = АС = 17 и ВС = 16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.

Задание 17.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений 

(x-a+3)^{2}+(y+a-2)^{2}=a+frac{7}{2},x-y=а-1

имеет единственное решение.

Задание 18.
Для действительного числа х обозначим через [х] наибольшее целое число, не превосходящее х. Например, [frac{11}{4}] = 2, так как 2≤frac{11}{4}<2

а) Существует ли такое натуральное число n, что [frac{n}{2}]+[frac{n}{3}]+[frac{n}{9}]=n?
б) Существует ли такое натуральное число n, что [frac{n}{2}]+[frac{n}{3}]+[frac{n}{5}]=n+2?
в) Сколько существует различных натуральных n, для которых [frac{n}{2}]+[frac{n}{3}]+[frac{n}{8}]+[frac{n}{23}]=n+2021?

Источник варианта: Сборник ЕГЭ 2022. ФИПИ школе. Математика профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. Под редакцией И.В. Ященко. 36 вариантов.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 2

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставь контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.

Ресурс носит неофициальный информационно-справочный характер, персональные данные не собирает и не обрабатывает, на интеллектуальные права третьих лиц не претендует.

Все ссылки ведут напрямую на официальные сайты описываемых услуг.

Карта сайта

Среднее общее образование

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Математика

Разбираем задания и решаем примеры с учителем

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).

Минимальный порог
— 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

  • часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
  • часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова Светлана Анатольевна
, учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».

Задание № 1
— проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 — 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1.
В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня — 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1) Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 — 172 = 5 (куб м)

2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ:
170,85.

Задание № 2
-является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований — это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2.
На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) — составляют 3/4 от всех купленных акций.

6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) — бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) — потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ:
15000.

Задание № 3
— является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.

Пример 3.
Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение:
Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:

Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:

где В = 10, Г = 6, поэтому

Ответ:

20.


Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях



Задание № 4
— задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.

Пример 4.
На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.

Решение:
1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n
элементов по k
:

у которых все вершины красные.

3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.

10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.

11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин — синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.

Ответ:
10.

Задание № 5
— базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).

Пример 5.
Решите уравнение 2 3 + x
= 0,4 · 5 3 + x
.

Решение.
Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х
≠ 0, получим

2 3 + x
= 0,4 или 2 3 + х
= 2 ,
5 3 + х
5 5

откуда следует, что 3 + x
= 1, x
= –2.

Ответ:
–2.

Задание № 6
по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.

Площадь треугольника ABC
равна 129. DE
– средняя линия, параллельная стороне AB
. Найдите площадь трапеции ABED
.

Решение.
Треугольник CDE
подобен треугольнику CAB
по двум углам, так как угол при вершине C
общий, угол СDE
равен углу CAB
как соответственные углы при DE
|| AB
секущей AC
. Так как DE
– средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE
= (1/2)AB
. Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, S ABED
= S
ΔABC
S
ΔCDE
= 129 – 32,25 = 96,75.

Задание № 7
— проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.

Пример 7.
К графику функции y
= f
(x
) в точке с абсциссой x
0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f
′(x
0).

Решение.
1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).

(y
y
1)(x
2 – x
1) = (x
x
1)(y
2 – y
1)

(y
– 3)(3 – 4) = (x
– 4)(–1 – 3)

(y
– 3)(–1) = (x
– 4)(–4)

y
+ 3 = –4x
+ 16| · (–1)

y
– 3 = 4x
– 16

y
= 4x
– 13, где k
1 = 4.

2) Найдём угловой коэффициент касательной k
2 , которая перпендикулярна прямой y
= 4x
– 13, где k
1 = 4, по формуле:

3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f
′(x
0) = k
2 = –0,25.

Ответ:
–0,25.

Задание № 8
— проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение.
1) V
куба = a
3 (где а
– длина ребра куба), поэтому

а
3 = 216

а
= 3 √216

2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d
= a
, d
= 6, d
= 2R
, R
= 6: 2 = 3.

Задание № 9
— требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:

    преобразования числовых рациональных выражений;

    преобразования алгебраических выражений и дробей;

    преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;

    действия со степенями;

    преобразование логарифмических выражений;

  1. преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.

Пример 9.
Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и

Решение.
1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём

tg 2 α = 1 – 1 = 1 – 1 = 10 – 1 = 5 – 1 = 1 1 – 1 = 1 = 0,25.
cos 2 α 0,8 8 4 4 4

Значит, tg 2 α = ± 0,5.

3) По условию

значит, α – угол II четверти и tgα

Ответ:
–0,5.

#ADVERTISING_INSERT#
Задание № 10
— проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Два тела массой m
= 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v
= 10 м/с под углом 2α
друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q
= mv
2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α
(в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение.
Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α
∈ (0°; 180°).

mv
2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Так как α
∈ (0°; 90°), то будем решать только

Изобразим решение неравенства графически:

Так как по условию α
∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α

Задание № 11
— является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.

Пример 11.
На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.

Решение:

Обозначим a
1 = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d
– ежедневное количество задач, решаемых Васей, n
= 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S
16 = 560 – общее количество задач, a
16 – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:

560 = (5 + a
16) · 8,

5 + a
16 = 560: 8,

5 + a
16 = 70,

a
16 = 70 – 5

a
16 = 65.

Ответ:
65.

Задание № 12
— проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.

Найти точку максимума функции y
= 10ln(x
+ 9) – 10x
+ 1.

Решение:
1) Найдем область определения функции: x
+ 9 > 0, x
> –9, то есть x ∈ (–9; ∞).

2) Найдем производную функции:

4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума x
= –8.

Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11

Скачать бесплатно методические пособия по алгебре


Задание № 13
-повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx
) – 5log 3 (2cosx
) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение:
а) Пусть log 3 (2cosx
) = t
, тогда 2t
2 – 5t
+ 2 = 0,

log 3 (2cosx
) =
2 2cosx
= 9
cosx
=
4,5 ⇔ т.к. |cosx
| ≤ 1,
log 3 (2cosx
) =
1 2cosx
= √3
cosx
=
√3
2 2
x
=
π + 2πk
6
x
= –
π + 2πk
, k
Z
6

б) Найдём корни, лежащие на отрезке .

Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни

Ответ:
а)
π + 2πk
; –
π + 2πk
, k
Z
; б)
11π ; 13π .
6 6 6 6


Задание № 14
-повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение:
а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.

Тогда расстояние между хордами составляет либо

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.

б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания — к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание — H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.

Значит, искомый угол равен

∠ABH = arctg AH = arctg 28 = arctg14.
BH 8 – 6

Задание № 15
— повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

Пример 15.
Решите неравенство |x
2 – 3x
| · log 2 (x
+ 1) ≤ 3x
x
2 .

Решение:
Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:

1) Пусть x
2 – 3x
= 0, т.е. х
= 0 или х
= 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.

2) Пусть теперь x
2 – 3x
> 0, т.е. x
∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x
2 – 3x
) · log 2 (x
+ 1) ≤ 3x
x
2 и разделить на положительное выражение x
2 – 3x
. Получим log 2 (x
+ 1) ≤ –1, x
+ 1 ≤ 2 –1 , x
≤ 0,5 –1 или x
≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x
∈ (–1; –0,5].

3) Наконец, рассмотрим x
2 – 3x
x
∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x
x
2) · log 2 (x
+ 1) ≤ 3x
x
2 . После деления на положительное выражение 3x
x
2 , получим log 2 (x
+ 1) ≤ 1, x
+ 1 ≤ 2, x
≤ 1. Учитывая область, имеем x
∈ (0; 1].

Объединяя полученные решения, получаем x
∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Ответ:
(–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задание № 16
— повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

Решение:
а)

1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.

2) Пусть EF = DH = x
, тогда BE = 2x
, BF = x
√3 по теореме Пифагора.

3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.

2x
= 4 – 2x
2x
(√3 + 1)
4

√3 – 1
= 2 – x

x
= 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S
DEFH = ED · EF = (3 – √3
) · 2(3 – √3
)

S
DEFH = 24 – 12√3.

Ответ:
24 – 12√3.

Задание № 17
— задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание — текстовая задача с экономическим содержанием.

Пример 17.
Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х
млн. рублей, где х
целое
число. Найдите наибольшее значение х
, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Решение:
В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х
), а в конце — (24,2 + х)
+ (24,2 + х)
· 0,1 = (26,62 + 1,1х
). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х)
, а в конце — (26,62 + 2,1х
) + (26,62 + 2,1х
) · 0,1 = (29,282 + 2,31х
). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство

(29,282 + 2,31x
) – 20 – 2x

29,282 + 2,31x
– 20 – 2x

0,31x

0,31x

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 24.

Ответ:
24.

Задание № 18
— задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности — это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.

При каких a
система неравенств

x
2 + y
2 ≤ 2ay
a
2 + 1
y
+ a
≤ |x
| – a

имеет ровно два решения?

Решение:
Данную систему можно переписать в виде

x
2 + (y
a
) 2 ≤ 1
y
≤ |x
| – a

Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а
). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y
= |
x
| –
a
,
причём последний есть график функции
y
= |
x
|
, сдвинутый вниз на а
. Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.

Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR
– прямоугольный равнобедренный. Точка Q
имеет координаты (0, а
), а точка R
– координаты (0, –а
). Кроме того, отрезки PR
и PQ
равны радиусу окружности, равному 1. Значит,




Задание № 19
— задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности — это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.

Пусть Sn
сумма п
членов арифметической прогрессии (а п
). Известно, что S n
+ 1 = 2n
2 – 21n
– 23.

а) Укажите формулу п
-го члена этой прогрессии.

б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n
.

в) Найдите наименьшее п
, при котором S n
будет квадратом целого числа.

Решение
: а) Очевидно, что a n
= S n
S n
– 1 . Используя данную формулу, получаем:

S n
= S
(n
– 1) + 1 = 2(n
– 1) 2 – 21(n
– 1) – 23 = 2n
2 – 25n
,

S n
– 1 = S
(n
– 2) + 1 = 2(n
– 1) 2 – 21(n
– 2) – 23 = 2n
2 – 25n
+ 27

значит, a n
= 2n
2 – 25n
– (2n
2 – 29n
+ 27) = 4n
– 27.

Б) Так как S n
= 2n
2 – 25n
, то рассмотрим функцию S
(x
) = |
2x
2 – 25x|
. Ее график можно увидеть на рисунке.

Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х
= 1, х
= 12 и х
= 13. Поскольку, S
(1) = |S
1 | = |2 – 25| = 23, S
(12) = |S
12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S
(13) = |S
13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.

в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn
положительно, начиная с n
= 13. Так как S n
= 2n
2 – 25n
= n
(2n
– 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n
= 2n
– 25, то есть при п
= 25.

Осталось проверить значения с 13 до 25:

S
13 = 13 · 1, S
14 = 14 · 3, S
15 = 15 · 5, S
16 = 16 · 7, S
17 = 17 · 9, S
18 = 18 · 11, S
19 = 19 · 13, S
20 = 20 · 13, S
21 = 21 · 17, S
22 = 22 · 19, S
23 = 23 · 21, S
24 = 24 · 23.

Получается, что при меньших значениях п
полный квадрат не достигается.

Ответ:
а) a n
= 4n
– 27; б) 12; в) 25.

________________

*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень — 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии — областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.

В задании 14 ЕГЭ по математике выпускникам, сдающим экзамен, необходимо решить задачу по стереометрии. Именно поэтому научиться решать такие задачи должен каждый школьник, если он хочет получить положительную оценку на экзамене. В данной статье представлен разбор двух типов заданий 14 из ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень) от репетитора по математике в Москве.

Доступен видеоразбор данного задания:

Рисунок к заданию будет выглядеть следующим образом:

а) Поскольку прямая MN
параллельна прямой DA
, которая принадлежит плоскости DAS
, то прямая MN
параллельна плоскости DAS
. Следовательно, линия пересечения плоскости DAS
и сечения KMN
будет параллельна прямой MN
. Пусть это линия KL
. Тогда KMNL
— искомое сечение.

Докажем, что плоскость сечения параллельна плоскости SBC
. Прямая BC
параллельна прямой MN
, так как четырехугольник MNCB
является прямоугольником (докажите сами). Теперь докажем подобие треугольников AKM
и ASB
. AC
— диагональ квадрата. По теореме Пифагора для треугольника ADC
находим:

AH
— половина диагонали квадрата, поэтому . Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника находим:

Тогда имеют место соотношения:

Получается, что стороны, образующие угол A в треугольниках AKM
и ASB
, пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны. Из этого следует равенство углов, в частности, равенство углов AMK
и ABS
. Так как эти углы соответственные при прямых KM
, SB
и секущей MB
, то KM
параллельна SB
.

Итак, мы получили, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (KM
и NM
) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (SB
и BC
). Следовательно, плоскости MNK
и SBC
параллельны.

б) Поскольку плоскости параллельны, расстояние от точки K
до плоскости SBC
равно расстоянию от точки S
до плоскости KMN
. Ищем это расстояние. Из точки S
опускаем перпендикуляр SP
к прямой DA
. Плоскость SPH
пересекается с плоскостью сечения по прямой OR
. Искомое расстояние есть длин перпендикуляра из точки S
к прямой OR
.

Действительно, KL
перпендикулярна плоскости OSR
, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (OR
и OS
). Перпендикулярность OR
и KL
следует из теоремы о трёх перпендикулярах. Следовательно, KL
перпендикулярна высоте треугольника ORS
, проведенной к стороне OR
. То есть эта высота перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости KMN
, а значит перпендикулярна этой плоскости.

Ищем стороны треугольника SOR
. Сторону SR
ищем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника RSH
: . Длину SP
находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PSH
: . Треугольники SOK
и SPA
подобны (докажите это сами) с коэффициентом подобия . Тогда и . Из прямоугольного треугольника SPH
находим . Из теоремы косинусов для треугольника POR
находим, что . Итак, нашли все стороны треугольника SOR
.

Из теоремы косинусов для треугольника SOR
находим , тогда из основного тригонометрического тождества находим . Тогда площадь треугольника OSR
равна:

С другой стороны эта площадь равна , где h
— искомая высота. Откуда находим .

Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому сечение будет пересекать эти плоскости по прямым LS
и DK
, которые также параллельны. Пусть B
1 M
— высота треугольника A
1 B
1 C
1 , а BE
— высота треугольника ABC
. Тогда рисунок будет выглядеть следующим образом:

Из прямоугольного треугольника B
1 M
A
1 находим по теореме Пифагора . Из прямоугольного треугольника B
1 QS
находим по теореме Пифагора . Тогда . Кроме того (половина высоты BE
правильного треугольника ABC
). Треугольники MQT
и PTB
подобны по двум углам (углы PTB
и MTQ
равны как вертикальные, углы TPB
и MQT
равны как накрест лежащие при параллельных прямых MQ
, PB
и секущей PQ
). Их коэффициент подобия равен .

Далее из прямоугольного треугольника MBE
находим . Используя доказанное подобие, находим . Аналогично, . Следовательно, .

Считается, что задача по стереометрии на Профильном ЕГЭ по математике — только для отличников. Что для ее решения необходимы особые таланты и загадочное «пространственное мышление», которым обладают с рождения лишь редкие счастливчики.

Так ли это?

К счастью, всё значительно проще. То, что так красиво называют «пространственным мышлением», чаще всего означает знание основ стереометрии и умение строить чертежи.

Во-первых, необходимо знание формул стереометрии. В наших таблицах «Многогранники » и «Тела вращения » приведены все формулы, по которым вычисляются объемы и площади поверхности трехмерных тел.

Во-вторых — уверенное решение задач по геометрии, представленных в части 1 (первые 12 задач ЕГЭ). Это и планиметрические задачи, и стереометрические .

И главное — для решения задачи 14 вам понадобятся основные аксиомы и теоремы стереометрии. Лучше всего, если вы приобретете учебник по геометрии для 10-11 класса (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян), и ответите на вопросы, список которых приведен ниже. Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Работая над этим заданием, сформулируйте для себя — чем отличаются определение и признак
. Есть, например, определение параллельности прямой и плоскости — и признак параллельности прямой и плоскости. В чем разница между ними?

Очень хорошо, если вы сделаете задание самостоятельно, а затем сверите с ответами. Все ответы можно найти на нашем сайте, в этом разделе.

Программа по стереометрии
.

  1. Плоскость в пространстве .Закончите фразу: Плоскость можно провести через…

    (Дайте четыре варианта ответа).

  2. Расположение плоскостей в пространстве.Закончите фразу: Если две плоскости имеют общую точку, то они…
  3. Параллельность прямой и плоскости. Определение и признак .
  4. Что такое наклонная и проекция наклонной . Рисунок.
  5. Угол между прямой и плоскостью.
  6. Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение и признак.
  7. Скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми .
  8. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.
  9. Параллельность плоскостей. Определение и признак.
  10. Перпендикулярность плоскостей. Определение и признак.
  11. Закончите фразу:а) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью…

    б) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями…

Приведем несколько простых правил для решения задач по стереометрии:

Есть два основных способа решения задач по стереометрии на ЕГЭ по математике. Первый — классический: применение на практике определений, теорем и признаков, список которых приведен выше. Второй —

Главная

Как показывают результаты профильного экзамена по математике, задачи по геометрии — в числе самых сложных для выпускников. Тем не менее, решить их, хотя бы частично, а значит заработать дополнительные баллы к общему результату возможно. Для этого необходимо, конечно, знать достаточно много о «поведении» геометрических фигур и уметь применять эти знания для решения задач. Здесь мы постараемся дать некоторые рекомендации, как подготовиться к решению задачи по стереометрии.

Что нужно знать о задаче по стереометрии № 14 варианта КИМ ЕГЭ

Эта задача обычно состоит из двух частей:

  • доказательной
    , в которой вас попросят доказать некоторое утверждение для заданной конфигурации геометрических тел;
  • вычислительной
    , в которой нужно найти некоторую величину, опираясь на то утверждение, которое вы доказали в первой части задачи.

    За решение данной задачи на экзамене по математике в 2018 году можно получить максимум два первичных балла
    . Допускается решить только «доказательную» или только «вычислительную» часть задачи и заработать в этом случае один первичный балл.

    Многие школьники на экзамене даже не приступают
    к решению задачи №14, хотя она значительно проще, например, задачи № 16 — по планиметрии.

    В задачу № 14 традиционно включается лишь несколько вопросов из всех возможных для стереометрических задач:

  • нахождение расстояний в пространстве;
  • нахождение углов в пространстве;
  • построение сечения многогранников плоскостью;
  • нахождение площади этого сечения или объемов многогранников, на которые эта плоскость поделила исходный многогранник.
    В соответствии с этими вопросами строится и подготовка к решению задачи
    .

    Сначала, разумеется, нужно выучить все необходимые аксиомы и теоремы
    , которые понадобятся для доказательной части задачи. Помимо того, что знание аксиом и теорем поможет вам на экзамене непосредственно при решении задачи, их повторение позволит систематизировать и обобщить ваши знания по стереометрии вообще, то есть создать из этих знаний некую целостную картину.

    Итак, что же нужно выучить?

  • Способы задания плоскости в пространстве
    , взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
  • параллельных прямых и плоскостей
    в пространстве.
  • Определения, признаки и свойства перпендикулярных прямых и плоскостей
    в пространстве.

    После того как вы повторили теорию, можно приступать к рассмотрению методов решения задач.
    В курсе «1C:Репетитор» представлены : видеолекции с теорией, тренажеры с пошаговым решением задач, тесты для самопроверки, интерактивные модели, позволяющие ученикам 10-х и 11-х классов наглядно рассмотреть методы решения задач по стереометрии, в том числе на примерах задач ЕГЭ 2017 года.

    Мы рекомендуем решать задачи в такой последовательности:

    1. Углы в пространстве (между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями);
    2. Расстояния в пространстве (между двумя точками, между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми);
    3. Решение многогранников, то есть нахождение углов между ребрами и гранями, расстояний между ребрами, площадей поверхностей, объемов по заданным в условии задачи элементам;
    4. Сечения многогранников — методы построения сечений (например, метод следов) и нахождения площадей сечений и объемов получившихся после построения сечения многогранников (например, использование свойств перпендикулярной проекции и метод объемов).

    Для всех указанных типов задач существуют различные методы решения:

  • классический (основанный на определениях и признаках);
  • метод проекций;
  • метод замены точки;
  • метод объемов.
  • Эти методы нужно знать и уметь применять, так как есть задачи, которые довольно сложно решаются одним методом и гораздо проще — другим.

    При решении стереометрических задач более эффективным по сравнению с классическим методом нередко оказывается векторно-координатный. Классический метод решения задач требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, умения применять их на практике, строить чертежи пространственных тел и сводить стереометрическую задачу к цепочке планиметрических
    . Классический метод, как правило, быстрее приводит к искомому результату, чем векторно-координатный, но требует определенной гибкости мышления. Векторно-координатный метод представляет собой набор готовых формул и алгоритмов, но при этом требует более длительных расчетов; тем не менее, для некоторых задач, например, для нахождения углов в пространстве
    , он предпочтительнее классического.

    Многим абитуриентам не позволяет справиться со стереометрической задачей неразвитое пространственное воображение
    . В этом случае мы рекомендуем использовать для самоподготовки интерактивные тренажеры с динамическими моделями пространственных тел. на портале «1С:Репетитор» (для перехода к их использованию необходимо зарегистрироваться): работая с ними, вы не только сможете «выстроить» решение задачи «по шагам», но и на объемной модели увидеть все этапы построения чертежа в различных ракурсах.

    С помощью таких же динамических чертежей мы рекомендуем учиться строить сечения многогранников. Кроме того, что модель автоматически проверит правильность вашего построения, вы сами сможете, рассматривая сечение с разных сторон, убедиться, верно или неверно оно построено, и если неправильно, то в чем именно ошибка. Построение сечения на бумаге, с помощью карандаша и линейки, конечно, таких возможностей не дает. Посмотрите пример построения сечения пирамиды плоскостью с использованием такой модели (Нажмите на картинку, что бы перейти к тренажеру):

    Последний вопрос, на который надо обратить внимание, — это нахождение площадей сечений или объемов
    , получившихся после построения сечения многогранников. Здесь также существуют подходы и теоремы, которые позволяют в общем случае существенно сократить трудозатраты
    на поиск решения и получение ответа. В курсе «1С:Репетитор» мы знакомим вас с этими приемами.

    Если вы следовали нашим советам, разобрались со всеми вопросами, которые здесь затронуты, и решили достаточное количество задач, то велика вероятность, что вы практически готовы к решению задачи по стереометрии на профильном ЕГЭ по математике в 2018 году. Дальше необходимо только поддерживать себя «в форме» до самого экзамена, то есть решать, решать и решать задачи, совершенствуя свое умение применять изученные приемы и методы
    в разных ситуациях. Удачи!

    Регулярно тренируйтесь в решении задач

    Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно .
    Вы можете:

    • заниматься самостоятельно и бесплатно
      , используя учебные материалы, включающие комплекс видеоуроков, пошаговых тренажеров и онлайн-тестов по каждой теме ЕГЭ;
    • воспользоваться более эффективным (с учетом особенностей восприятия учащихся) средством: пройти, , на которых будут детально разбираться теория и способы решения задач ЕГЭ по математике.

    В 2017 году мы провели серию вебинаров, посвященный рациональным уравнениям и неравенствам. Записи вебинаров будут доступны пользователям, оформившим подписку на весь курс 9900₽ 7900₽

    . Для пробы можете купить доступ на один месяц за 990 ₽

    Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
    Как решать задание 14 на экзамене ЕГЭ, задачи по геометрии, решение задач, по стереометрии, методы решения задач, тренажеры, видео, КИМ ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ, профиль математика, математика профильного уровня, решение задачи по наклонной треугольной призме, грани, взаимно перпендикулярно, общее ребро, плоскости, точки, ребро равно, боковая поверхность, решение задач на сечение многогранника, перпендикулярное сечение, вычислить объем фигуры, в основании прямой треугольной призмы лежит, признаки равенства и подобия треугольников, примеры решения задач ЕГЭ по геометрии, вычисление сечения, задачи по математике профильного уровня, применение методов сечения, решение задач на площадь, задачи ЕГЭ 2017 по стереометрии, подготовка к ЕГЭ, выпускникам 11 класса, в 2018 году, поступающим в технический вуз.

    В задании №13 ЕГЭ по математике базового уровня придется продемонстрировать умения и знания одного из понятий поведения функции: производных в точке или скоростей возрастания или убывания. Теория к этому заданию будет добавлена чуть позже, но это не помешает нам подробно разобрать несколько типовых вариантов.

    Разбор типовых вариантов заданий №14 ЕГЭ по математике базового уровня

    Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

    На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.

    Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

    В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

    Алгоритм выполнения:
    1. Выбрать интервал времени, на котором температура падала.
    2. Приложить линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.
    Решение:

    Выберем интервал времени, на котором температура падала. Этот участок видно не вооруженным глазом, он начинается в 8 мин от момента запуска двигателя.

    Приложим линейку к 30°С и определить интервал времени, на котором температура была ниже 30°С.

    Ниже линейки окажется участок, соответствующий интервалу времени 0 – 1 мин.

    С помощью карандаша и линейки найдем на каком интервале времени температура находилась в пределах от 40°С до 80°С.

    Опустим из точек, соответствующих 40°С и 80°С перпендикуляры на график, а из полученных точек опустим перпендикуляры на ось времени.

    Видим, что этому температурному интервалу соответствует интервал времени 3 – 6,5 мин. То есть из приведенных в условии 3 – 6 мин.

    Методом исключения выберем недостающий вариант ответа.

    Второй вариант задания

    ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

    ГРАФИКИ ПРОИЗВОДНЫХ

    Решение:

    Проанализируем график функции А. Если Функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.

    Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. В точке максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 3.

    Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 4. Точка максимума функции x=-2, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.

    Сначала функция В возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 2 и 3. Точка максимума функции x = 1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.

    Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 1.

    Ответ: 3421.

    Третий вариант задания

    Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.

    ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

    ГРАФИКИ ПРОИЗВОДНЫХ

    Алгоритм выполнения для каждой из функций:
    1. Определить промежутки возрастания и убывания функций.
    2. Определить точки максимума и точки минимума функций.
    3. Сделать выводы, поставить в соответствие предложенные графики.
    Решение:

    Проанализируем график функции А.

    Если функция возрастает, то производная положительна и наоборот. Производная функции равна нулю в точках экстремума.

    Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

    Сначала функция А возрастает, т.е. производная положительна. Этому соответствуют графики производных 3 и 4. В точке максимума функции x=0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 4.

    Проанализируем график функции Б.

    Сначала функция Б убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x=-1, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 2.

    Проанализируем график функции В.

    Сначала функция В убывает, т.е. производная отрицательна. Этому соответствуют графики производных 1 и 2. Точка минимума функции x = 0, то есть в данной точке производная должна быть равна нулю. Этому условию соответствует график под номером 1.

    Методом исключения можем определить, что графику функции Г соответствует график производной под номером 3.

    Ответ: 4213.

    Вариант четырнадцатого задания 2017

    На рисунке изображен график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами А, В, С и D.
    В правом столбце указаны значения производной в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

    ТОЧКИ
    А
    В
    С
    D

    ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
    1) –4
    2) 3
    3) 2/3
    4) -1/2

    Вспомним, что означает производная, а именно ее значение в точке — значение функции производной в точке равно тангенсу угла наклона (коэффициенту) касательной.

    В ответах у нас есть два положительных, и два отрицательных варианта. Как мы помним, если коэффициент прямой (графика y = kx+ b
    ) положительный — то прямая возрастает, если же он отрицательный — то прямая убывает.

    Возрастающих прямых у нас две — в точке A и D. Теперь вспомним, что же означает значение коэффициента k?

    Коэффициент k показывает, насколько быстро возрастает или убывает функция (на самом деле коэффициент k сам является производной функции y = kx+ b).

    Поэтому k = 2/3 соответствует более пологой прямой — D, а k = 3 — A.

    Аналогично и в случае с отрицательными значениями: точке B соответствует более крутая прямая с k = — 4, а точке С — -1/2.

    Вариант четырнадцатого задания 2019 года(1)

    На рисунке точками показаны объемы месячных продаж обогревателей в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество проданных обогревателей. Для наглядности точки соединены линией.

    Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж обогревателей
    .

    Алгоритм выполнения

    Анализируем части графика, соответствующие разным временам года. Формулируем ситуации, отображенные на графике. Находим для них наиболее подходящие варианты ответов.

    Решение:

    Зимой кол-во продаж превысило 120 шт./мес., причем оно все время увеличивалось. Эта ситуация соответствует варианту ответа №3. Т.е. получаем: А–3
    .

    Весной продажи постепенно упали со 120 обогревателей за месяц до 50. Наиболее приближенным к этой формулировке является вариант №2. Имеем: Б–2
    .

    Летом кол-во продаж не менялась и была минимальной. 2-я часть этой формулировки не отражена в ответах, а для первой подходит только №4. Отсюда имеем: В–4
    .

    Осенью продажи росли, однако их кол-во ни в одном из месяцев не превысило 100 штук. Эта ситуация описана в варианте №1. Получаем: Г–1
    .

    Вариант четырнадцатого задания 2019 года(2)

    На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость автобуса в км/ч, на горизонтальной – время в минутах, прошедшее с начала движения автобуса.

    Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автобуса на этом интервале.

    Алгоритм выполнения
    1. Определяем цену деления на горизонтальной и на вертикальной шкале.
    2. Анализируем по очереди предложенные утверждения 1–4 из правой колонки («Характеристики»). Сопоставляем их с временными интервалами из левой колонки таблицы, находим пары «буква–число» для ответа.
    Решение:

    Цена деления горизонтальной шкалы составляет 1 с, вертикальной – 20 км/ч.

    1. Когда автобус делает остановку, его скорость равна 0. Нулевую скорость в течение 2 минут подряд автобус имел только с 9-й по 11-ю минуту. Это время попадает в интервал 8–12 мин. Значит, имеем пару для ответа: Б–1
      .
    2. Скорость 20 км/ч и больше автобус имел в течение нескольких временных промежутков. Причем вариант А здесь не подходит, т.к., к примеру, на 7-й минуте скорость составляла 60 км/ч, вариант Б – потому что он уже применен, вариант Г – потому что в начале и конце промежутка автобус имел нулевую скорость. В данном случае подходит вариант В (12–16 мин); на этом промежутке автобус начинает движение со скоростью 40 км/ч, далее ускоряется до 100 км/м и потом постепенно снижает скорость до 20 км/ч. Итак, имеем: В–2
      .
    3. Здесь установлено ограничение для скорости. При этом варианты Б и В мы не рассматриваем. Оставшиеся же интервалы А и Г подходят оба. Поэтому правильно будет рассмотреть сначала 4-й вариант, а потом снова вернуться в 3-му.
    4. Из двух оставшихся интервалов для характеристики №4 подходит только 4–8 мин, поскольку на этом промежутке остановка была (на 6-й минуте). На промежутке 18–22 мин остановок не было. Получаем: А–4
      . Отсюда следует, что для характеристики №3 нужно взять интервал Г, т.е. получается пара Г–3
      .

    Вариант четырнадцатого задания 2019 года(3)

    На рисунке точками показан прирост населения Китая в период с 2004 по 2013 год. По горизонтали указывается год, по вертикали – прирост населения в процентах (увеличение численности населения относительно прошлого года). Для наглядности точки соединены линией.

    Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику прироста населения Китая в этот период
    .

    Алгоритм выполнения
    1. Определяем цену деления вертикальной шкалы рисунка. Находится она как разница пары соседних значений шкалы, деленная на 2 (т.к. между двумя соседними значениями имеется 2 деления).
    2. Анализируем последовательно приведенные в условии характеристики 1–4 (левая табличная колонка). Сопоставляем каждую из них с конкретным периодом времени (правая табличная колонка).
    Решение:

    Цена деления вертикальной шкалы составляет 0,01%.

    1. Падение прироста непрерывно продолжалось с 2004 по 2010 год. В 2010–2011 годах прирост был стабильно минимальным, и начиная с 2012 года оно начал увеличиваться. Т.е. остановка прироста произошла в 2010 году. Этот год находится в периоде 2009–2011 гг. Соответственно, имеем: В–1
      .
    2. Наибольшим падением прироста следует считать самую «круто» падающую линию графика на рисунке. Она приходится на период 2006–2007 гг. и составляет 0,04%, за год (0,59–0,56=0,04% в 2006 г. и 0,56–0,52=0,04% в 2007 г.). Отсюда получаем: А–2
      .
    3. Указанный в характеристике №3 прирост начался с 2007 года, продолжился в 2008 г. и завершился в 2009 году. Это соответствует периоду времени Б, т.е. имеем: Б–3
      .
    4. Прирост населения начал увеличиваться после 2011 г., т.е. в 2012–2013 гг. Поэтому получаем: Г–4
      .

    Вариант четырнадцатого задания 2019 года(4)

    На рисунке изображены график функции и касательные, проведенные к нему в точках с абсциссами А,В,С и D.

    В правом столбце указаны значения производной функции в точках А, В, С и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

    Алгоритм выполнения
    1. Рассматриваем пару касательных, имеющих острый угол с положит.направлением оси абсцисс. Сравниваем их, находим соответствие среди пары соответствующих значений производных.
    2. Рассматриваем пару касательных, образующих с положит.направлением оси абсцисс тупой угол. Сравниваем их по модулю, определяем соответствие их значениям производных среди двух оставшихся в правой колонке.
    Решение:

    Острый угол с положит.направлением оси абсцисс образуют производные в т.В и т.С. Эти производные имеют положит.значения. Поэтому выбирать тут следует между значениями №№1 и 3. Применяя правило о том, что если угол меньше 45 0 , то производная меньше 1, а если больше, то больше 1, делаем вывод: в т.В производная по модулю больше 1, в т.С – меньше 1. Это означает, что можно составить пары для ответа: В–3
    и С–1
    .

    Производные в т.А и т.D образуют с положит.направлением оси абсцисс тупой угол. И тут применяем то же правило, немного перефразировав его: чем больше касательная в точке «прижата» к линии оси абсцисс (к отрицат. ее направлению), тем больше она по модулю. Тогда получаем: производная в т.А по модулю меньше, чем производная в т.D. Отсюда имеем пары для ответа: А–2
    и D–4
    .

    Вариант четырнадцатого задания 2019 года(5)

    На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.

    Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры
    .

    Алгоритм выполнения

    Анализируем последовательно характеристики 1–4 (правая колонка), используя график на рисунке. Ставим каждой из них в соответствие конкретный временной период (левая колонка).

    Решение:
    1. Рост температуры наблюдался только в конце периода 22–28 января. Здесь 27 и 28 числа она повышалась соответственно на 1 и на 2 градуса. В конце периода 1–7 января температура была стабильной (–10 градусов), в конце 8–14 и 15–21 января понижалась (с –1 до –2 и с –11 до –12 градусов соответственно). Поэтому получаем: Г–1
      .
    2. Поскольку каждый временной период охватывает 7 дней, то анализировать нужно температуру, начиная с 4-го дня каждого периода. Неизменной в течение 3–4 дней температура была только с 4 по 7 января. Поэтому получаем ответ: А–2
      .
    3. Месячный минимум температуры наблюдался 17 января. Это число входит в период 15–21 января. Отсюда имеем пару: В–3
      .
    4. Температурный максимум пришелся 10 января и составил +1 градус. Эта дата попадает в период 8–14 января. Значит, имеем: Б–4.

    Вариант четырнадцатого задания 2019 года(6)

    На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки А, В, С и D на оси Ох..

    Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и ее производной

    Алгоритм выполнения
    1. Значение функции в точке положительно, если эта точка расположена выше оси Ох.
    2. Производная в точке больше нуля, если касательная к этой точке образует острый угол с положительным направлением оси Ох.
    Решение:

    Точка А. Она находится ниже оси Ох, значит значение функции в ней отрицательно. Если провести в ней касательную, то угол между нею и положит.направлением Ох составит около 90 0 , т.е. образует острый угол. Значит, в данном случае подходит характеристика №3. Т.е. имеем: А–3
    .

    Точка Б. Она находится над осью Ох, т.е. точка имеет положит.значение функции. Касательная в этой точке будет довольно близко «прилегать» к оси абсцисс, образуя тупой угол (немногим меньше 180 0) с положительным ее направлением. Соответственно, производная в этой точке отрицательна. Т.о., здесь подходит характеристика 1. Получаем ответ: В–1
    .

    Точка С. Точка расположена ниже оси Ох, касательная в ней образует большой тупой угол с положит.направлением оси абсцисс. Т.е. в т.С значение и функции, и производной отрицательно, что соответствует характеристике №2. Ответ: С–2
    .

    Точка D. Точка находится выше оси Ох, а касательная в ней образует с положит.направлением оси острый угол. Это говорит о том, что как значение функции, так и значение производной здесь больше нуля. Ответ: D–4
    .

    Вариант четырнадцатого задания 2019 года(7)

    На рисунке точками показаны объемы месячных продаж холодильников в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – количество проданных холодильников. Для наглядности точки соединены линией.

    Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж холодильников
    .

    Алгоритм выполнения
    1. При необходимости найти кол-во холодильников за тот или иной период нужно определять их сумму за три месяца.
    2. Анализировать следует характеристики 1–4 (правая колонка), находя для каждой из них соответствие в виде временного периода (левая колонка).
    Решение:

    Анализируем характеристики:

    1. Меньше всего холодильников продано в начале и в конце года. Поэтому рассмотрим периоды январь–март и октябрь–декабрь. В январе–марте было продано примерно 250+250+300=800 холодильников, в октябре–декабре – примерно 350+200+100=650. Значит, здесь подходит все-таки последний период. Ответ: Г–1
      .
    2. Длительный рост продаж наблюдался с апреля по июль. Это время охватывает полностью период апрель–июнь и захватывает начало следующего. Поэтому получаем: Б–2
      .
    3. Тут тоже требуется найти сумму проданных единиц за целые периоды. Для 1-го и последнего периода она уже найдена (см.п.1). Считаем для 2-го и 3-го, получаем: 300+400+600=1300 – в апреле–июне, примерно 650+600+550=1800 – в июле–сентябре. К требуемым 800 холодильникам максимально приближен объем продаж в январе–марте. Поэтому имеем: А–3
      .
    4. Одинаковое падение объема продаж означает, что разница между кол-вом проданных холодильников должна быть одинаковой. Падение продаж наблюдалось, начиная с конца июля. В августе падение составило 650–600=50 штук, в сентябре – 600–550=50 штук. Далее, в октябре, разница составила уже 550–350=200 холодильников, в ноябре 350–200=150, в декабре 200–100=100. Т.о., подходит в данном случаем период июль–сентябрь. Ответ: В–4
      .

    Вариант четырнадцатого задания 2019 года(8)

    На рисунке точками показан годовой объем добычи угля в России открытым способом в период с 2001 по 2010 год. По горизонтали указывается год, по вертикали – объем добычи угля в миллионах тонн. Для наглядности точки соединены линиями.

    Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов характеристику добычи угля в этот период
    .

    Алгоритм выполнения
    1. Точки, которые не приходятся на точные значения шкалы вертикальной оси, определяем приблизительно.
    2. Анализируем по очереди приведенные (в правом столбце) характеристики, используя данный график. Определяем соответствие каждой из них конкретного временного периода.
    Анализируем характеристики:
    1. Объем добычи меньше 190 млн т приходился на период с 2001 года по 2005 год. Затем спад добычи зафиксирован в 2009 году, но один год не составляет периода. 2001–2005 годы полностью попадают в период А (2002–2004 гг.). Поэтому получаем ответ: А–1
      .
    2. Такая формулировка «объем… сначала уменьшался, а затем начал расти» соответствует 2 периодам – 2002–2003 гг. и 2009–2010 гг. Но т.к. первый из этих периодов уже взят в качестве ответа, то правильно здесь использовать пару Г–2
      .
    3. Ситуация, описанная в 3-й характеристике, наиболее точно отображена в периоде 2006–2008 гг. Именно в это время добыча сначала понемногу увеличивалась (примерно с 190 млн т до 210), а потом резко возросла до 250 млн т. Т.е. подходящий ответ здесь: 2006–2008 гг. и, соответственно, имеем: В–3
      .
    4. Медленный рост следует искать в период, когда линия графика имеет наиболее пологий вид. Это: 2004–2006 год, что соответствует периоду Б, т.е. получаем: Б–4
      .

    Вариант четырнадцатого задания 2019 года(9)

    На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на вертикальной оси – температура двигателя в градусах Цельсия.

    Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику температуры.

    Алгоритм выполнения

    Анализируем сначала очередную характеристику, а затем сопоставляем ее с конкретным временным интервалом.

    Решение:
    1. Выше 60 0 температура была с 4-й по 7-ю минуту. Поэтому здесь нужно взять интервал 4–6 мин. Получаем: В–1
      .
    2. Температура падала только после 7-й минуты. Соответственно, тут подходит интервал 7–9 мин. Ответ: Г–2
      .
    3. Самый быстрый рост температуры происходил там, где график имеет наиболее «крутой» вертикальный подъем. Это имеет место только в 1-ю минуту нагревания. Т.е. подходящим интервалом является 0–1 мин. Ответ: А–3
      .
    4. В пределах 40–50 0 С температура имела место, начиная со 2-й по 3-ю минуту. Значит, нужно выбрать интервал 2–3мин. Ответ: Б–4
      .

    Вариант четырнадцатого задания 2019 года(10)

    На графике изображена зависимость частоты пульса гимнаста от времени в течение и после его выступления в вольных упражнениях. На горизонтальной оси отмечено время (в минутах), прошедшее с начала выступления гимнаста, на вертикальной оси – частота пульса (в ударах в минуту).

    Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику пульса гимнаста на этом интервале.

    Алгоритм выполнения
    1. Для анализа характеристики нужно использовать только 1-ю половину графика.
    2. Для точек графика, которые не попадают в «узлы» сетки рисунка (т.е. для которых невозможно определить точные значения), нужно определять значения приблизительно.
    3. Величина роста пульса связана с пологостью (или, напротив, крутизной) линии графика. Это означает, что чем большее изменение значения функции происходит за тот или иной (но обязательно одинаковый) промежуток времени, тем больше величина роста.
    Решение:

    Анализируем предложенные характеристики:

    1. Если частота пульса сначала падала, а затем росла, то на графике это должно выразиться в «прогибе» линии графика вниз. Такая кривизна наблюдается только в течение 3–4 минуты. Значит, получаем ответ: Г–1
      .
    2. Самый большой «подъем» линии на 1-й половине графика имеет место с 1-й по 2-ю минуту. Отсюда получаем: Б–2
      .
    3. Частота пульса падала, начиная со 2-й минуты. В течение 3–4 минут тоже наблюдалось падение, однако оно потом перешло в рост. Поэтому правильным здесь следует считать интервал В. Т.о., ответ: В–3
      .
    4. Единственный интервал, на котором частота не превысила 100 ударов, – 0–1 мин. Отсюда имеем ответ: А–4
      .

    В задании 14 ЕГЭ по математике выпускникам, сдающим экзамен, необходимо решить задачу по стереометрии. Именно поэтому научиться решать такие задачи должен каждый школьник, если он хочет получить положительную оценку на экзамене. В данной статье представлен разбор двух типов заданий 14 из ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень) от репетитора по математике в Москве.

    Доступен видеоразбор данного задания:

    Рисунок к заданию будет выглядеть следующим образом:

    а) Поскольку прямая MN
    параллельна прямой DA
    , которая принадлежит плоскости DAS
    , то прямая MN
    параллельна плоскости DAS
    . Следовательно, линия пересечения плоскости DAS
    и сечения KMN
    будет параллельна прямой MN
    . Пусть это линия KL
    . Тогда KMNL
    — искомое сечение.

    Докажем, что плоскость сечения параллельна плоскости SBC
    . Прямая BC
    параллельна прямой MN
    , так как четырехугольник MNCB
    является прямоугольником (докажите сами). Теперь докажем подобие треугольников AKM
    и ASB
    . AC
    — диагональ квадрата. По теореме Пифагора для треугольника ADC
    находим:

    AH
    — половина диагонали квадрата, поэтому . Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника находим:

    Тогда имеют место соотношения:

    Получается, что стороны, образующие угол A в треугольниках AKM
    и ASB
    , пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны. Из этого следует равенство углов, в частности, равенство углов AMK
    и ABS
    . Так как эти углы соответственные при прямых KM
    , SB
    и секущей MB
    , то KM
    параллельна SB
    .

    Итак, мы получили, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (KM
    и NM
    ) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (SB
    и BC
    ). Следовательно, плоскости MNK
    и SBC
    параллельны.

    б) Поскольку плоскости параллельны, расстояние от точки K
    до плоскости SBC
    равно расстоянию от точки S
    до плоскости KMN
    . Ищем это расстояние. Из точки S
    опускаем перпендикуляр SP
    к прямой DA
    . Плоскость SPH
    пересекается с плоскостью сечения по прямой OR
    . Искомое расстояние есть длин перпендикуляра из точки S
    к прямой OR
    .

    Действительно, KL
    перпендикулярна плоскости OSR
    , так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (OR
    и OS
    ). Перпендикулярность OR
    и KL
    следует из теоремы о трёх перпендикулярах. Следовательно, KL
    перпендикулярна высоте треугольника ORS
    , проведенной к стороне OR
    . То есть эта высота перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости KMN
    , а значит перпендикулярна этой плоскости.

    Ищем стороны треугольника SOR
    . Сторону SR
    ищем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника RSH
    : . Длину SP
    находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PSH
    : . Треугольники SOK
    и SPA
    подобны (докажите это сами) с коэффициентом подобия . Тогда и . Из прямоугольного треугольника SPH
    находим . Из теоремы косинусов для треугольника POR
    находим, что . Итак, нашли все стороны треугольника SOR
    .

    Из теоремы косинусов для треугольника SOR
    находим , тогда из основного тригонометрического тождества находим . Тогда площадь треугольника OSR
    равна:

    С другой стороны эта площадь равна , где h
    — искомая высота. Откуда находим .

    Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому сечение будет пересекать эти плоскости по прямым LS
    и DK
    , которые также параллельны. Пусть B
    1 M
    — высота треугольника A
    1 B
    1 C
    1 , а BE
    — высота треугольника ABC
    . Тогда рисунок будет выглядеть следующим образом:

    Из прямоугольного треугольника B
    1 M
    A
    1 находим по теореме Пифагора . Из прямоугольного треугольника B
    1 QS
    находим по теореме Пифагора . Тогда . Кроме того (половина высоты BE
    правильного треугольника ABC
    ). Треугольники MQT
    и PTB
    подобны по двум углам (углы PTB
    и MTQ
    равны как вертикальные, углы TPB
    и MQT
    равны как накрест лежащие при параллельных прямых MQ
    , PB
    и секущей PQ
    ). Их коэффициент подобия равен .

    Далее из прямоугольного треугольника MBE
    находим . Используя доказанное подобие, находим . Аналогично, . Следовательно, .

    Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD
    с вершиной S
    равны 9.

    Основание O
    высоты SO
    SS
    1 , M
    — середина ребра SB
    , точка L
    лежит на ребре CD
    так, что CL
    : LD
    = 7: 2.

    SBCD
    плоскостью S
    1 LM
    — равнобедренная трапеция.

    Решение.

    а) Проведём медиану S
    1 M
    треугольника SS
    1 B
    , которая пересекает прямую BB
    1 , являющуюся одновременно медианой треугольника SS 1 B
    и основания BCD
    , в точке T
    . Тогда ВТ
    : ТВ
    1 = 4: 5.

    Точка L
    , в свою очередь, делит отрезок B
    1 D
    в отношении DL
    :
    1 = 4: 5, так как LD
    : LC
    = 2: 7 и отрезок BB
    1 — медиана треугольника BCD
    .

    Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L
    и T
    , параллельна стороне BD
    основания BCD
    . Пусть прямая LT
    пересекает BC
    в точке P
    .

    Проведём через точку M
    среднюю линию в треугольнике SBD
    , пусть она пересекает сторону SD
    в точке K
    . Тогда PMKL
    — искомое сечение, причём BP
    = DL
    и BM
    = KD
    . Из равенства треугольников BMP
    и DKL
    получим MP
    = KL
    , а значит, PMKL
    — равнобедренная трапеция.

    б) Большее основание PL
    трапеции равно 7, поскольку треугольник LPC
    правильный. Второе основание MK
    равно 4,5, поскольку MK
    — средняя линия правильного треугольника SBD
    . Следовательно, средняя линия трапеции равна

    Vasily Ass
    09.03.2016 14:53

    почему в 1-ом предложении решения BT: TB1 = 4:5, что это за свойство? «по­сколь­ку BB1 также яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка SS1B.» такого свойства нет

    Schg Wrbutr
    21.04.2017 19:58

    Скажите, откуда вы берете отношение 4:5? Можете это свойство медиан объяснить?

    Александр Иванов

    Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1

    В правильной треугольной пирамиде SABC
    сторона основания AB
    равна 12, а боковое ребро SA
    равно 8. Точки M
    и N
    — середины рёбер SA
    и SB
    соответственно. Плоскость α содержит прямую MN
    и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

    а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE
    основания в отношении 5: 1, считая от точки C
    .

    б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C
    , а основанием — сечение пирамиды SABC
    плоскостью α.

    Решение.

    а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S
    пирамиды на основание дает точку O
    , которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O
    делит медианы в отношении 2: 1, то есть

    Рассмотрим высоту SE
    треугольника SAB
    . Точка F
    1 являеся ее серединой. Следовательно, ее проекция на медиану CE
    делит отрезок OE
    пополам. В свою очередь отрезок тогда

    В итоге получаем, что точка F
    делит медиану CE
    как или в соотношении 5: 1, начиная от точки C
    . Что и требовалось доказать.

    б) Найдем высоту искомой пирамиды Медиану СЕ
    найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE
    :

    Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK
    ). Отрезок отрезок (так как это средняя линия треугольника ABS
    ), высота трапеции Найдем высоту SO
    из прямоугольного треугольника SOC
    :

    Площадь трапеции (основания пирамиды) равна

    Объем пирамиды найдем по формуле

    Ответ:
    б)

    Источник: Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

    В пирамиде SABC
    в основании лежит правильный треугольник ABC
    со стороной Точка O
    — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

    а) Докажите, что точка O
    лежит вне треугольника ABC.

    б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO
    .

    Решение.

    а) Поскольку SA
    = SC
    , точка S
    лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку AC
    и проходящей через его середину M
    . Следовательно, O
    лежит на прямой BM
    . Обозначим высоту пирамиды за x
    , тогда Следовательно, и При этом поэтому точка O
    лежит вне треугольника. Более того, поскольку AO
    BO, она лежит на продолжении BM
    за точку M
    .

    б) Из треугольника SMA
    найдем Теперь, из треугольника SMO
    находим Тогда из треугольника BOS
    имеем

    Ответ:

    В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
    с вершиной S
    сторона основания равна 8. Точка L
    — середина ребра SC
    . Тангенс угла между прямыми BL
    и SA
    равен

    а) Пусть O
    — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO
    и LO
    перпендикулярны.

    б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

    Решение.

    а) Поскольку средняя линия треугольника , Но по теореме о трех перпендикулярах — проекция на плоскость основания пирамиды — прямая Значит, и

    б) Пусть Тогда , Кроме того, , откуда Тогда высота боковой грани пирамиды и площадь поверхности пирамиды

    Ответ:
    192.

    Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

    Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
    с вершиной S
    равны 6. Основание высоты SO
    этой пирамиды является серединой отрезка SS
    1 , M
    — середина ребра AS
    , точка L
    лежит на ребре BC
    так, что BL
    : LC
    = 1: 2.

    а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD
    плоскостью S
    1 LM
    — равнобокая трапеция.

    б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.

    Решение.

    Прямая S
    1 M
    пересекает медиану AO
    треугольника ABD
    в точке T
    так, что АТ
    : TO
    = 2: 1, поскольку T
    — точка пересечения медиан треугольника SAS
    1 и O
    — точка пересечения диагоналей основания ABCD
    , так как пирамида SABCD
    правильная.

    Следовательно, AT
    : TC
    = 1: 2. Точка L
    делит отрезок BC
    в отношении BL
    : LC
    = 1: 2, следовательно, треугольники ACB
    и TCL
    подобны с коэффициентом подобия k
    = AC
    : TC
    = BC
    : CL
    = 3: 2, так как они имеют общий угол с вершиной C
    и стороны AC
    и BC
    в треугольнике ABC
    пропорциональны сторонам TC
    и LC
    треугольника TCL
    , заключающим тот же угол. Значит, сторона сечения, проходящая через точки L
    и T
    , параллельна стороне AB
    основания пирамиды SABCD
    AD
    в точке P
    .

    Сторона сечения, проходящая через точку M
    в плоскости SAB
    , параллельна прямой AB
    , так как плоскость S
    1 LM
    пересекает плоскость SAB
    и проходит через прямую PL
    , параллельную плоскости SAB
    . Пусть эта сторона сечения пересекает сторону SB
    в точке K
    . Тогда сечение PMKL
    — равнобокая трапеция, поскольку AP
    = BL
    и AM
    = BK
    .

    Большее основание LP
    трапеции равно 6, поскольку ABCD
    — квадрат. Второе основание MK
    трапеции равно 3, поскольку MK
    — средняя линия треугольника SAB
    . Значит, средняя линия трапеции равна

    Ответ:
    б) 4,5.

    В треугольной пирамиде ABCD
    двугранные углы при рёбрах AD
    и BC
    равны. AB
    = BD
    = DC
    = AC
    = 5.

    а) Докажите, что AD
    = BC
    .

    б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD
    и BC
    равны 60°.

    Решение.

    а) Треугольник BAC
    — равнобедренный. Проведём AM
    BC
    . M
    — середина BC
    , тогда DM
    BC
    , так как треугольник BDC
    равнобедренный. ∠AMD
    BC
    . Аналогично ∠BNC
    = φ — линейный угол двугранного угла при ребре AD
    . ΔABC
    = ΔDBC
    по трём сторонам, тогда MA
    = MD
    и

    Аналогично ΔBAD
    = ΔCAD
    и NB
    = NC
    , а

    Треугольники ANM
    и BMN
    равны по общему катету MN
    и острому углу α, тогда AN
    = BM
    . Но следовательно, AD
    = BC
    .

    б) По условию φ = 60°, тогда треугольник AMD
    равносторонний. Пусть AD
    = AM
    = MD
    = BC
    = a
    , тогда В треугольнике AMB
    имеем откуда и

    Ответ:

    Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке — 2016. До­сроч­ная волна, ре­зерв­ный день, вариант А. Ларина (часть С).

    В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB
    , равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD
    , перпендикулярный AB
    . Построено сечение ABNM
    , проходящее через прямую AB
    перпендикулярно прямой CD
    так, что точка C
    и центр основания цилиндра, в котором проведён диаметр CD
    , лежат с одной стороны от сечения.

    а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.

    б) Найдите объём пирамиды CABNM
    .

    Решение.

    а) Для построения сечения опустим перпендикуляры AM
    и BN
    на второе основание цилиндра. Отрезки AM
    и BN
    параллельны и равны, значит, ABNM
    — параллелограмм. Так как прямые AM
    и BN
    перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB
    , параллелограмм ABNM
    является прямоугольником. Диагонали прямоугольника равны, что и требовалось доказать.

    б) Площадь прямоугольника ABNM
    равна Отрезок OH
    равен Высота CH
    пирамиды CABNM
    равна Следовательно, объём пирамиды CABNM
    равен

    Ответ:
    б)

    В правильной треугольной призме ABCA
    1 B
    1 C
    1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA
    1 и CC
    1 отмечены точки M
    и N
    соответственно, причём AM
    = 2, CN
    = 1.

    а) Докажите, что плоскость MNB
    1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

    б) Найдите объём тетраэдра MNBB
    1 .

    Решение.

    Площадь основания призмы равна а объём призмы равен

    В четырёхугольной пирамиде B
    1 A
    1 C
    1 NM
    A
    1 B
    1 C
    1 , опущенной на сторону A
    1 C
    1 , и равна Основание A
    1 C
    1 NM
    пирамиды B
    1 A
    1 C
    1 NM
    является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B
    1 A
    1 C
    1 NM
    равен то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B
    1 A
    1 C
    1 NM
    и ABCMB
    1 N
    равны.

    б) В четырёхугольной пирамиде BACNM
    высота совпадает с высотой основания призмы ABC
    , опущенной на сторону AC
    , и равна Основание пирамиды BACNM
    является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM
    равен

    Многогранник ABCMB
    1 N
    состоит из двух частей: BACNM
    и MNBB
    1 . Значит, объём тетраэдра MNBB
    1 равен

    Ответ:

    Источник: За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ — 2016. Досрочная волна. Ва­ри­ант 201. Юг

    Александр Иванов

    Высота в правильном треугольнике со стороной 6

    Есть правильная треугольная призма ABCA
    1 B
    1 C
    1 со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K
    — середина BC
    , точка L
    лежит на стороне A
    1 B
    1 так, что В
    1 L
    = 5. Точка М
    — середина A
    1 C
    1 .

    Через точки K
    и L
    проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC
    .

    а) Доказать, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB
    .

    б) Найти объем пирамиды с вершиной в точке В
    и у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

    Решение.

    а) Отметим точки и на ребрах и соответственно так чтобы Тогда плоскость это плоскость

    Очевидно , поскольку проекция на плоскость — высота треугольника Она перпендикулярна , а значит и По теореме о трех перпендикулярах

    Рассмотрим теперь проекцию точки на плоскость Поскольку проекция на эту плоскость — середина ребра , то Докажем теперь, что прямая перпендикулярна Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется что , а тогда и

    Обозначим за точку пересечения отрезков и , за и — проекции точек и на прямую Тогда

    Итак, тангенсы этих углов обратны друг другу, поэтому углы в сумме дают 90° и угол = 180° — 90° = 90°, что и требовалось доказать.

    б) Очевидно , так как — равносторонний треугольник.

    Ответ:

    Источник: ЕГЭ — 2016. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Центр

    Длина диагонали куба ABCDA
    1 B
    1 C
    1 D
    1 равна 3. На луче A
    1 C
    отмечена точка P
    так, что A
    1 P
    = 4.

    а) Докажите, что PBDC
    1 — правильный тетраэдр.

    б) Найдите длину отрезка AP
    .

    Решение.

    а) Введём систему координат как показано на рисунке. Поскольку ребро куба в корень меньше его диагонали, ребро данного куба равно Тогда точки B
    , D
    , C
    1 имеют координаты соответственно.

    Поскольку P
    лежит на продолжении A
    1 C
    , отрезок A
    1 P
    можно рассматривать как диагональ куба с ребром Тогда точка P
    имеет координаты

    Найдём расстояние от P
    до точек D
    1 , B
    и C
    1:

    Отрезки C
    1 B
    , DB
    и DC
    1 — диагонали граней куба, поэтому по теореме Пифагора Тогда Значит, все рёбра тетраэдра DBC
    1 P
    равны, поэтому он правильный.

    б) Координаты точки A
    : Раcстояние от точки P
    до точки A
    равно

    Ответ:

    Приведём другое решение.

    а) Диагональ куба в больше его ребра: Следовательно,

    Заметим, что как диагонали квадратов со стороной AB
    . Тогда треугольник BC
    1 D
    — правильный.

    Пусть Поскольку ABCD
    — квадрат имеем:

    Поскольку как накрест лежащие, и как вертикальные, получаем: по двум углам, тогда

    Заметим, что треугольник — прямоугольный, тогда откуда

    В треугольнике OMC
    имеем: так как — верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC
    − прямоугольный, ∠M
    = 90°.

    Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [-1; 1].

    [b]ХАРАКТЕРИСТИКИ

    1) функция возрастает на отрезке [-1; 1]
    2) функция убывает на отрезке [-1; 1]
    3) функция имеет точку минимума на отрезке [-1; 1]
    4) функция имеет точку максимума на отрезке [-1; 1]

    На диаграмме показано количество запросов аббревиатуры ЕГЭ, сделанных на поисковом сайте Google во все месяцы с сентября 2015 года по август 2016 года. По горизонтали указываются месяца и год, по вертикали — количество запросов за данный месяц.

    Пользуясь диаграммой, установите связь между промежутками времени и характером изменения количества запросов.

    [b]ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ
    А) Осень
    Б) Зима
    В) Весна
    Г) Лето

    [b]ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЗАПРОСОВ
    1) Резкий спад количества запросов
    2) Количество запросов практически не менялось
    3) Количество запросов плавно снижалось
    4) Количество запросов плавно росло

    Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

    На графике изображена зависимость частоты пульса гимнаста от времени в течение и после его выступления в вольных упражнениях.
    На горизонтальной оси отмечено время(в минутах), прошедшее с начала выступления гимнаста, на вертикальной оси — частота пульса(в ударах в минуту).

    Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому периоду времени характеристику пульса гимнаста на этом периоде.

    В таблице указаны доходы и расходы фирмы за 5 месяцев.

    Пользуясь таблицей, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику доходов и расходов.

    В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

    На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха в Москве в январе 2011 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки соединены линией.
    Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику изменения температуры.

    На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля от времени. На вертикальной оси отмечена скорость легкового автомобиля в км/ч, на горизонтальной — время в секундах, прошедшее с начала движения автомобиля.

    Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому периоду времени характеристику движения автомобиля на этом интервале.

    ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ

    А) 0-30 с
    Б) 60-60 с
    В) 60-90 с
    Г) 90-120 с

    ХАРАКТЕРИСТИКИ

    1) скорость автомобиля достигла максимума за всё время движения автомобиля
    2) скорость автомобиля не уменьшалась и не превышала 40 км/ч
    3) автомобиль сделал остановку на 15 секунд
    4) скорость автомобиля не увеличивалась на всём интервале

    A
    B
    C
    D

    ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

    1) -4
    2) 3
    3) 2/3
    4) -1/2

    В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

    На графике изображена зависимость температуры от времени в процессе разогрева двигателя легкового автомобиля. На горизонтальной оси отмечено время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя; на вертикальной оси — температура двигателя в градусах Цельсия.

    Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

    ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ

    A) 0-1 мин.
    Б) 1-3 мин.
    B) 3-6 мин.
    Г) 8-10 мин.

    ХАРАКТЕРИСТИКИ

    1) самый медленный рост температуры
    2) температура падала
    3) температура находилась в пределах от 40 °С до 80 °С
    4) температура не превышала 30 °С.

    На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами A, B, C и D.
    В правом столбце указаны значения производной функции в точках A, B, C и D. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

    На графике изображена зависимость скорости погружения батискафа от времени. На вертикальной оси отмечена скорость в м/с, на горизонтальной — время в секундах, прошедшее с начала погружения.

    Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику погружения батискафа на этом интервале.

    ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ

    А) 60-150c
    Б) 150-180c
    В) 180-240c
    Г) 240-300 c

    ХАРАКТЕРИСТИКИ

    1) Батискаф 45 секунд погружался с постоянной скоростью.
    2) Скорость погружения уменьшалась, а затем произошла остановка на полминуты.
    3) Скорость погружения достигла максимума за все время.
    4) Скорость погружения не увеличивалась на всем интервале, но батискаф не останавливался.

    В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

    На рисунке изображён график функции у = f(x) и отмечены точки А, В. С и D на оси Ох. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

    А) А
    Б) В
    В) С
    Г) D

    ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНОЙ

    1) значение функции в точке отрицательно и значение производной функции в точке отрицательно

    2) значение функции в точке положительно и значение производной функции в точке положительно

    3) значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно

    4) значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке равно нулю

    На рисунке изображён график функции y=f(х). Точки a, b, c, d и e
    задают на оси Ох интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

    На рисунке изображён график функции y=f(x). Точки a, b, c, d и e
    задают на оси Ox интервалы. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.

    На диаграмме показаны объёмы месячных продаж холодильников в магазине бытовой техники в течение года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество проданных холодильников.

    Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику продаж данного товара.

    А) январь-март
    Б) апрель-июнь
    В) июль-сентябрь
    Г) октябрь-декабрь

    ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОДАЖ

    1) наибольший рост объёма продаж
    2) наименьший рост объёма продаж
    3) достиг минимума за всё время
    4) достиг максимума за всё время

    На рисунке точками показано атмосферное давление в городе N на протяжении трёх суток с 4 по 6 апреля 2013 года. В течение суток давление измеряется 4 раза: в 0:00, в 6:00, в 12:00 и в 18:00. По горизонтали указываются время суток и дата, по вертикали — давление в миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями.

    На рисунке точками показаны объёмы месячных продаж обогревателей в магазине бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество проданных обогревателей. Для наглядности точки соединены линией.

    На диаграмме изображена цена акций компании в период с 1 по 14 сентября 2013 г. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена акции в рублях.

    Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из ука¬занных периодов времени характеристику цены акций.
    А) 1-3 сентября 1)самое быстрое падение цены цена
    Б) 4-6 сентября 2)росла в течение всего периода
    В) 7-9 сентября 3)самое медленное падение цены
    Г) 9-11 сентября 4)цена сначала увеличивалась, а потом стала уменьшаться

    На графике изображена зависимость скорости движения рейсового автобуса от времени. На вертикальной оси отмечена скорость ав¬тобуса в км/ч, на горизонтальной — время в минутах, прошедшее с начала движения автобус

    ИНТЕРВАЛЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ
    ВРЕМЕНИ ДВИЖЕНИЯ
    А) 4-8 мин 1) была остановка длительностью 2 мин
    Б) 8-12 мин 2) скорость не меньше 20 км/ч на всём интервале
    В) 12-16 мин 3) скорость не больше 60 км/ч
    Г) 18-22 мин 4) была остановка длительностью 1 мин

    На диаграмме изображена цена акций компании в период с 1 по 14 сентября 2013 г. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена акции в рублях.Пользуясь диаграммой, поставьте в соответствие каждому из указанных интервалов времени характеристику цены акций.

    На рисунке точками показано атмосферное давление в городе N на протяжении трёх суток с 4 по 6 апреля 2013 года. В течение суток давление измеряется 4 раза: в 0:00,в 6:00, в 12:00, и в 18:00. По горизонтали указывается время суток и дата, по вертикали – давление в миллиметрах ртутного столба. Для наглядности точки соединены линиями. Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из ука¬занных периодов времени характеристику атмосферного давления в городе N в течение этого периода.

    Главная

    Как показывают результаты профильного экзамена по математике, задачи по геометрии — в числе самых сложных для выпускников. Тем не менее, решить их, хотя бы частично, а значит заработать дополнительные баллы к общему результату возможно. Для этого необходимо, конечно, знать достаточно много о «поведении» геометрических фигур и уметь применять эти знания для решения задач. Здесь мы постараемся дать некоторые рекомендации, как подготовиться к решению задачи по стереометрии.

    Что нужно знать о задаче по стереометрии № 14 варианта КИМ ЕГЭ

    Эта задача обычно состоит из двух частей:

  • доказательной
    , в которой вас попросят доказать некоторое утверждение для заданной конфигурации геометрических тел;
  • вычислительной
    , в которой нужно найти некоторую величину, опираясь на то утверждение, которое вы доказали в первой части задачи.

    За решение данной задачи на экзамене по математике в 2018 году можно получить максимум два первичных балла
    . Допускается решить только «доказательную» или только «вычислительную» часть задачи и заработать в этом случае один первичный балл.

    Многие школьники на экзамене даже не приступают
    к решению задачи №14, хотя она значительно проще, например, задачи № 16 — по планиметрии.

    В задачу № 14 традиционно включается лишь несколько вопросов из всех возможных для стереометрических задач:

  • нахождение расстояний в пространстве;
  • нахождение углов в пространстве;
  • построение сечения многогранников плоскостью;
  • нахождение площади этого сечения или объемов многогранников, на которые эта плоскость поделила исходный многогранник.
    В соответствии с этими вопросами строится и подготовка к решению задачи
    .

    Сначала, разумеется, нужно выучить все необходимые аксиомы и теоремы
    , которые понадобятся для доказательной части задачи. Помимо того, что знание аксиом и теорем поможет вам на экзамене непосредственно при решении задачи, их повторение позволит систематизировать и обобщить ваши знания по стереометрии вообще, то есть создать из этих знаний некую целостную картину.

    Итак, что же нужно выучить?

  • Способы задания плоскости в пространстве
    , взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
  • параллельных прямых и плоскостей
    в пространстве.
  • Определения, признаки и свойства перпендикулярных прямых и плоскостей
    в пространстве.

    После того как вы повторили теорию, можно приступать к рассмотрению методов решения задач.
    В курсе «1C:Репетитор» представлены : видеолекции с теорией, тренажеры с пошаговым решением задач, тесты для самопроверки, интерактивные модели, позволяющие ученикам 10-х и 11-х классов наглядно рассмотреть методы решения задач по стереометрии, в том числе на примерах задач ЕГЭ 2017 года.

    Мы рекомендуем решать задачи в такой последовательности:

    1. Углы в пространстве (между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями);
    2. Расстояния в пространстве (между двумя точками, между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми);
    3. Решение многогранников, то есть нахождение углов между ребрами и гранями, расстояний между ребрами, площадей поверхностей, объемов по заданным в условии задачи элементам;
    4. Сечения многогранников — методы построения сечений (например, метод следов) и нахождения площадей сечений и объемов получившихся после построения сечения многогранников (например, использование свойств перпендикулярной проекции и метод объемов).

    Для всех указанных типов задач существуют различные методы решения:

  • классический (основанный на определениях и признаках);
  • метод проекций;
  • метод замены точки;
  • метод объемов.
  • Эти методы нужно знать и уметь применять, так как есть задачи, которые довольно сложно решаются одним методом и гораздо проще — другим.

    При решении стереометрических задач более эффективным по сравнению с классическим методом нередко оказывается векторно-координатный. Классический метод решения задач требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, умения применять их на практике, строить чертежи пространственных тел и сводить стереометрическую задачу к цепочке планиметрических
    . Классический метод, как правило, быстрее приводит к искомому результату, чем векторно-координатный, но требует определенной гибкости мышления. Векторно-координатный метод представляет собой набор готовых формул и алгоритмов, но при этом требует более длительных расчетов; тем не менее, для некоторых задач, например, для нахождения углов в пространстве
    , он предпочтительнее классического.

    Многим абитуриентам не позволяет справиться со стереометрической задачей неразвитое пространственное воображение
    . В этом случае мы рекомендуем использовать для самоподготовки интерактивные тренажеры с динамическими моделями пространственных тел. на портале «1С:Репетитор» (для перехода к их использованию необходимо зарегистрироваться): работая с ними, вы не только сможете «выстроить» решение задачи «по шагам», но и на объемной модели увидеть все этапы построения чертежа в различных ракурсах.

    С помощью таких же динамических чертежей мы рекомендуем учиться строить сечения многогранников. Кроме того, что модель автоматически проверит правильность вашего построения, вы сами сможете, рассматривая сечение с разных сторон, убедиться, верно или неверно оно построено, и если неправильно, то в чем именно ошибка. Построение сечения на бумаге, с помощью карандаша и линейки, конечно, таких возможностей не дает. Посмотрите пример построения сечения пирамиды плоскостью с использованием такой модели (Нажмите на картинку, что бы перейти к тренажеру):

    Последний вопрос, на который надо обратить внимание, — это нахождение площадей сечений или объемов
    , получившихся после построения сечения многогранников. Здесь также существуют подходы и теоремы, которые позволяют в общем случае существенно сократить трудозатраты
    на поиск решения и получение ответа. В курсе «1С:Репетитор» мы знакомим вас с этими приемами.

    Если вы следовали нашим советам, разобрались со всеми вопросами, которые здесь затронуты, и решили достаточное количество задач, то велика вероятность, что вы практически готовы к решению задачи по стереометрии на профильном ЕГЭ по математике в 2018 году. Дальше необходимо только поддерживать себя «в форме» до самого экзамена, то есть решать, решать и решать задачи, совершенствуя свое умение применять изученные приемы и методы
    в разных ситуациях. Удачи!

    Регулярно тренируйтесь в решении задач

    Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно .
    Вы можете:

    • заниматься самостоятельно и бесплатно
      , используя учебные материалы, включающие комплекс видеоуроков, пошаговых тренажеров и онлайн-тестов по каждой теме ЕГЭ;
    • воспользоваться более эффективным (с учетом особенностей восприятия учащихся) средством: пройти, , на которых будут детально разбираться теория и способы решения задач ЕГЭ по математике.

    В 2017 году мы провели серию вебинаров, посвященный рациональным уравнениям и неравенствам. Записи вебинаров будут доступны пользователям, оформившим подписку на весь курс 9900₽ 7900₽

    . Для пробы можете купить доступ на один месяц за 990 ₽

    Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
    Как решать задание 14 на экзамене ЕГЭ, задачи по геометрии, решение задач, по стереометрии, методы решения задач, тренажеры, видео, КИМ ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ, профиль математика, математика профильного уровня, решение задачи по наклонной треугольной призме, грани, взаимно перпендикулярно, общее ребро, плоскости, точки, ребро равно, боковая поверхность, решение задач на сечение многогранника, перпендикулярное сечение, вычислить объем фигуры, в основании прямой треугольной призмы лежит, признаки равенства и подобия треугольников, примеры решения задач ЕГЭ по геометрии, вычисление сечения, задачи по математике профильного уровня, применение методов сечения, решение задач на площадь, задачи ЕГЭ 2017 по стереометрии, подготовка к ЕГЭ, выпускникам 11 класса, в 2018 году, поступающим в технический вуз.

    Считается, что задача по стереометрии на Профильном ЕГЭ по математике — только для отличников. Что для ее решения необходимы особые таланты и загадочное «пространственное мышление», которым обладают с рождения лишь редкие счастливчики.

    Так ли это?

    К счастью, всё значительно проще. То, что так красиво называют «пространственным мышлением», чаще всего означает знание основ стереометрии и умение строить чертежи.

    Во-первых, необходимо знание формул стереометрии. В наших таблицах «Многогранники » и «Тела вращения » приведены все формулы, по которым вычисляются объемы и площади поверхности трехмерных тел.

    Во-вторых — уверенное решение задач по геометрии, представленных в части 1 (первые 12 задач ЕГЭ). Это и планиметрические задачи, и стереометрические .

    И главное — для решения задачи 14 вам понадобятся основные аксиомы и теоремы стереометрии. Лучше всего, если вы приобретете учебник по геометрии для 10-11 класса (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян), и ответите на вопросы, список которых приведен ниже. Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

    Работая над этим заданием, сформулируйте для себя — чем отличаются определение и признак
    . Есть, например, определение параллельности прямой и плоскости — и признак параллельности прямой и плоскости. В чем разница между ними?

    Очень хорошо, если вы сделаете задание самостоятельно, а затем сверите с ответами. Все ответы можно найти на нашем сайте, в этом разделе.

    Программа по стереометрии
    .

    1. Плоскость в пространстве .Закончите фразу: Плоскость можно провести через…

      (Дайте четыре варианта ответа).

    2. Расположение плоскостей в пространстве.Закончите фразу: Если две плоскости имеют общую точку, то они…
    3. Параллельность прямой и плоскости. Определение и признак .
    4. Что такое наклонная и проекция наклонной . Рисунок.
    5. Угол между прямой и плоскостью.
    6. Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение и признак.
    7. Скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми .
    8. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.
    9. Параллельность плоскостей. Определение и признак.
    10. Перпендикулярность плоскостей. Определение и признак.
    11. Закончите фразу:а) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью…

      б) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями…

    Приведем несколько простых правил для решения задач по стереометрии:

    Есть два основных способа решения задач по стереометрии на ЕГЭ по математике. Первый — классический: применение на практике определений, теорем и признаков, список которых приведен выше. Второй —