6 5log6 3 решу егэ

В задаче b7 дается некоторое выражение, которое нужно упростить. в результате должно получиться обычное число, которое можно записать в бланке

В задаче B7 дается некоторое выражение, которое нужно упростить. В результате должно получиться обычное число, которое можно записать в бланке ответов. Все выражения условно делятся на три типа:

  1. Логарифмические,
  2. Показательные,
  3. Комбинированные.

Показательные и логарифмические выражения в чистом виде практически не встречаются. Однако знать, как они вычисляются, совершенно необходимо.

В целом, задача B7 решается достаточно просто и вполне под силу среднему выпускнику. Отсутствие четких алгоритмов компенсируется в ней стандартностью и однообразностью. Научиться решать такие задачи можно просто за счет большого количества тренировок.

Логарифмические выражения

Подавляющее большинство задач B7 содержат логарифмы в том или ином виде. Эта тема традиционно считается сложной, поскольку ее изучение приходится, как правило, на 11 класс — эпоху массовой подготовки к выпускным экзаменам. В результате многие выпускники имеют весьма смутное представление о логарифмах.

Но в этой задаче никто и не требует глубоких теоретических познаний. Нам будут встречаться лишь самые простые выражения, которые требуют незамысловатых рассуждений и вполне могут быть освоены самостоятельно. Ниже приведены основные формулы, которые надо знать, чтобы справиться с логарифмами:

Кроме того, надо уметь заменять корни и дроби на степени с рациональным показателем, иначе в некоторых выражениях выносить из под знака логарифма будет просто нечего. Формулы замены:

Задача. Найти значения выражений:
log 6 270 − log 6 7,5
log 5 775 − log 5 6,2

Первые два выражения преобразуются как разность логарифмов:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Для вычисления третьего выражения придется выделять степени — как в основании, так и в аргументе. Для начала найдем внутренний логарифм:

Затем — внешний:

Конструкции вида log a
log b
x
многим кажутся сложными и непонятыми. А между тем, это всего лишь логарифм от логарифма, т.е. log a
(log b
x
). Сначала вычисляется внутренний логарифм (положим log b
x
= c
), а затем внешний: log a
c
.

Показательные выражения

Будем называть показательным выражением любую конструкцию вида a
k
, где числа a
и k
— произвольные постоянные, причем a
> 0. Методы работы с такими выражениями достаточно просты и рассматриваются на уроках алгебры 8-го класса.

Ниже приведены основные формулы, которые обязательно надо знать. Применение этих формул на практике, как правило, не вызывает проблем.

  1. a
    n
    · a
    m
    = a
    n
    + m
    ;
  2. a
    n
    / a
    m
    = a
    n
    − m
    ;
  3. (a
    n
    ) m
    = a
    n
    · m
    ;
  4. (a
    · b
    ) n
    = a
    n
    · b
    n
    ;
  5. (a
    : b
    ) n
    = a
    n
    : b
    n
    .

Если встретилось сложное выражение со степенями, и не понятно, как к нему подступиться, используют универсальный прием — разложение на простые множители. В результате большие числа в основаниях степеней заменяются простыми и понятными элементами. Затем останется лишь применить указанные выше формулы — и задача будет решена.

Задача. Найти значения выражений: 7 9 · 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Решение. Разложим все основания степеней на простые множители:
7 9 · 3 11: 21 8 = 7 9 · 3 11: (7 · 3) 8 = 7 9 · 3 11: (7 8 · 3 8) = 7 9 · 3 11: 7 8: 3 8 = 7 · 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 · 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 · 2 21: 3 6: 2 20 = 3 · 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 · 3 · 2) 6: (3 · 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 · 3 6 · 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 · 3 · 2 = 150.

Комбинированные задачи

Если знать формулы, то все показательные и логарифмические выражения решаются буквально в одну строчку. Однако в задаче B7 степени и логарифмы могут объединяться, образуя довольно неслабые комбинации.

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами
.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a

x

и log a

y

. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

  1. log a

    x

    + log a

    y

    = log a

    (x

    · y

    );

  2. log a

    x

    − log a

    y

    = log a

    (x

    : y

    ).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания
. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм »). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Log 6 4 + log 6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a

> 0, a

≠ 1, x

> 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log 7 49 6 .

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:


[Подпись к рисунку]

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log 2 7. Поскольку log 2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log a

x

. Тогда для любого числа c

такого, что c

> 0 и c

≠ 1, верно равенство:


[Подпись к рисунку]

В частности, если положить c

= x

, получим:


[Подпись к рисунку]

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log 5 16 · log 2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

[Подпись к рисунку]

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log 9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n

становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n

может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b

возвести в такую степень, что число b

в этой степени дает число a

? Правильно: получится это самое число a

. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что log 25 64 = log 5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ:)

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

  1. log a

    a

    = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a

    от самого этого основания равен единице.

  2. log a

    1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a

    может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a

    0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Сейчас мы взглянем на преобразование выражений, содержащих логарифмы, с общих позиций. Здесь мы разберем не только преобразование выражений с использованием свойств логарифмов, а рассмотрим преобразование выражений с логарифмами общего вида, которые содержат не только логарифмы, но и степени, дроби, корни и т.д. Весь материал по обыкновению будем снабжать характерными примерами с детальными описаниями решений.

Навигация по странице.

Выражения с логарифмами и логарифмические выражения

Выполнение действий с дробями

В предыдущем пункте мы разобрали основные преобразования, которые проводятся с отдельными дробями, содержащими логарифмы. Эти преобразования, естественно, можно проводить с каждой отдельной дробью, являющейся частью более сложного выражения, например, представляющего собой сумму, разность, произведение и частное подобных дробей. Но помимо работы с отдельными дробями, преобразование выражений указанного вида часто подразумевает выполнение соответствующих действий с дробями. Дальше мы рассмотрим правила, по которым эти действия проводятся.

Еще с 5-6 классов нам известны правила, по которым выполняются . В статье общий взгляд на действия с дробями
мы распространили эти правила с обыкновенных дробей на дроби общего вида A/B
, где A
и B
– некоторые числовые, буквенные выражения или выражения с переменными, причем B тождественно не равно нулю. Понятно, что дроби с логарифмами являются частными случаями дробей общего вида. И в связи с этим понятно, что действия с дробями, которые содержат в своих записях логарифмы, проводятся по тем же правилам. А именно:

  • Чтобы сложить или вычесть две дроби с одинаковыми знаменателями, надо соответственно сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить прежним.
  • Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю и выполнить соответствующие действия по предыдущему правилу.
  • Чтобы умножить две дроби, надо записать дробь, числителем которой является произведение числителей исходных дробей, а знаменателем – произведение знаменателей.
  • Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимую дробь умножить на дробь, обратную делителю, то есть, на дробь, с переставленными местами числителем и знаменателем.

Приведем несколько примеров на выполнение действий с дробями, содержащими логарифмы.

Пример.

Выполните действия с дробями, содержащими логарифмы: а) , б) , в) , г) .

Решение.

а) Знаменатели складываемых дробей, очевидно, одинаковые. Поэтому, согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями складываем числители, а знаменатель оставляем прежним: .

б) Здесь знаменатели различные. Поэтому, сначала нужно привести дроби к одинаковому знаменателю
. В нашем случае знаменатели уже представлены в виде произведений, и нам остается взять знаменатель первой дроби и добавить к нему недостающие множители из знаменателя второй дроби. Так мы получим общий знаменатель вида . При этом к общему знаменателю вычитаемые дроби приводятся при помощи дополнительных множителей в виде логарифма и выражения x 2 ·(x+1)
соответственно. После этого останется выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, что не представляет сложностей.

Итак, решение таково:

в) Известно, что результатом умножения дробей является дробь, числитель которой есть произведение числителей, а знаменатель – произведение знаменателей, поэтому

Несложно заметить, что можно провести сокращение дроби
на двойку и на десятичный логарифм, в результате имеем .

г) Переходим от деления дробей к умножению, заменяя дробь-делитель обратной ей дробью . Так

Числитель полученной дроби можно представить в виде , из которого явно виден общий множитель числителя и знаменателя – множитель x
, на него можно сократить дробь:

Ответ:

а) , б) , в) , г) .

Следует помнить, что действия с дробями проводятся с учетом порядка выполнения действий : сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание, а если есть скобки, то сначала проводятся действия в скобках.

Пример.

Выполните действия с дробями .

Решение.

Сначала выполняем сложение дробей в скобках, после чего будем проводить умножение:

Ответ:

В этом пункте остается проговорить вслух три довольно очевидных, но в то же время важных момента:

Преобразование выражений с использованием свойств логарифмов

Наиболее часто преобразование выражений с логарифмами подразумевает использование тождеств, выражающих определение логарифма и . Например, обратившись к основному логарифмическому тождеству a log a b =b
, a>0
, a≠1
, b>0
, мы можем выражение x−5 log 5 7
представить в виде x−7
, а формула перехода к новому основанию логарифма , где a>0
, a≠1
, b>0
, c>0
, c≠1
дает возможность от выражения перейти к разности 1−lnx
.

Применение свойств корней, степеней, тригонометрических тождеств и т.п.

Выражения с логарифмами помимо, собственно, самих логарифмов почти всегда содержат степени, корни, тригонометрические функции и т.п. Понятно, что для преобразования таких выражений наряду со свойствами логарифмов могут потребоваться свойства степеней, корней и т.д. Мы отдельно разбирали применение каждого блока свойств к преобразованию выражений, ссылки на соответствующие статьи Вы можете найти в разделе сайта www.сайт выражения и их преобразование . Здесь же мы покажем решение пары примеров на применение свойств в связке с логарифмами.

Пример.

Упростить выражение .

Решение.

Для начала выполним преобразование выражений с корнями . На ОДЗ переменной x
для исходного выражения (которой в нашем случае является множество положительных действительных чисел) от корней можно перейти к степеням с дробными показателями, после чего воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковыми основаниями: . Таким образом,

Теперь представляем числитель в виде (что нам позволяет сделать свойство степени в степени, при необходимости смотрите преобразование выражений с использованием свойств степеней , а также представление числа, которое позволяет заменить сумму квадратов синуса и косинуса одного и того же аргумента единицей. Так мы получим единицу под знаком логарифма. А, как известно, логарифм единицы равен нулю.

Запишем проделанные преобразования:

Нуль в кубе есть нуль, поэтому переходим к выражению .

Дробь, числитель которой есть нуль, а знаменатель отличен от нуля (в нашем случае это действительно так, ведь несложно обосновать, что значение выражения под знаком натурального логарифма отлично от единицы) равна нулю. Таким образом,

Дальнейшие преобразования проводятся на базе определения корня нечетной степени из отрицательного числа: .

Так как 2 15
– положительное число, то можно применить свойства корней, которые приводят к финальному результату: .

Ответ:

Разделы:


Математика

Вид урока:
урок обобщения и систематизации
знаний

Цели:

  • актуализировать знания учащихся о логарифмах и
    их свойствах в рамках обобщающего повторения и
    подготовки к ЕГЭ;
  • способствовать развитию мыслительной
    деятельности учащихся, навыков применения
    теоретических знаний при выполнении упражнений;
  • способствовать развитию личностных качеств
    учащихся, навыков самоконтроля и самооценки
    своей деятельности; воспитывать трудолюбие,
    терпеливость, упорство, самостоятельность.

Оборудование:
компьютер, проектор, презентация
(приложение 1
), карточки с домашним заданием
(можно прикрепить файл с заданием в электронном
дневнике).

Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие,
настрой на урок.

II. Обсуждение домашнего задания.

III. Сообщение темы и цели урока. Мотивация.
(Слайд
1) Презентация .

Мы продолжаем обобщающее повторение курса
математики в рамках подготовки к ЕГЭ. И сегодня
на уроке мы поговорим о логарифмах и их
свойствах.

Задания на вычисление логарифмов и
преобразование логарифмических выражений
обязательно присутствуют в
контрольно-измерительных материалах как
базового, так и профильного уровня. Поэтому цель
нашего урока – восстановить представления о
смысле понятия “логарифм” и актуализировать
навыки преобразования логарифмических
выражений. Запишите в тетрадях тему урока.

IV. Актуализация знаний.

1. /Устно/
Для начала вспомним, что
называют логарифмом. (Слайд 2)

(Логарифмом положительного числа b по основанию
a (где а > 0, а?1) называется показатель степени, в
которую нужно возвести число a, чтобы получить
число b)

Log a b = n а n = b , (а> 0, а 1, b > 0)

Итак, “ЛОГАРИФМ” — это “ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ”!

(Слайд 3) Тогда а n = b можно переписать в
виде
= b – основное логарифмическое тождество.

Если основание а = 10, то логарифм называют
десятичным и обозначают lgb.

Если а = e, то логарифм называют натуральным и
обозначают lnb.

2. /Письменно/
(Слайд 4)
Заполните
пропуски, чтобы получились верные равенства:

Log ? x + Log a ? = Log ? (?y)

Log a ? — Log ? y = Log ? (x/?)

Log a x ? = pLog ? (?)

Проверка:

1; 1; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

Это свойства логарифмов. И еще группа свойств: (Слайд
5)

Проверка:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Устная работа

(Слайд 6) №1. Вычислите:

а) б) в) г) ; д) .

Ответы

: а) 4; б) – 2; в) 2; г) 7; д) 27.

(Слайд 7) №2. Найти Х:

а) ; б) (Ответы:
а) 1/4; б) 9).

№3. Имеет ли смысл рассматривать такой
логарифм:

а) ; б) ; в) ? (Нет)

VI. Самостоятельная работа в группах,
сильные ученики – консультанты
. (Слайд 8)

№ 1. Вычислите: .

№ 2. Упростите:

№ 3. Найдите значение выражения , если

№ 4. Упростите выражение:

№ 5. Вычислите:

№ 6. Вычислите:

№ 7. Вычислите:

№ 8. Вычислите:

После выполнения – проверка и обсуждение по
заготовленному решению или с помощью документ –
камеры.

VII. Решение задания повышенной сложности
(сильный
ученик на доске, остальные – в тетрадях) (Слайд
9)

Найдите значение выражения:

VIII. Домашнее задание (на карточках)
дифференцированное.
(Слайд 10)

№1. Вычислите:

№2. Найдите значение выражения:

  • Ф.Ф.Лысенко и др. Математика. Тематические тесты
    10 – 11 класс. Часть 1 / Ростов-на-Дону: “Легион”, 2008
  • В.В.Кочагин Интенсивная подготовка. ЕГЭ
    Математика. / М: “Эксмо”, 2008
  • ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ:

    1. Л.В.Артамонова, учитель математики МОУ
      “Москаленский лицей” Презентация “В стране
      логарифмов”
    2. А.А.Кукшева, МОУ “Егорьевская СОШ” Презентация
      “Логарифмы и их свойства”

    Задания, решение которых заключается в преобразовании логарифмических выражений
    , довольно часто встречаются на ЕГЭ.

    Чтобы успешно справиться с ними при минимальной затрате времени кроме основных логарифмических тождеств, необходимо знать и правильно использовать ещё некоторые формулы.

    Это: a log а b = b, где а, b > 0, а ≠ 1 (Она вытекает непосредственно из определения логарифма).

    log a b = log с b / log с а или log а b = 1/log b а
    где а, b, с > 0; а, с ≠ 1.

    log а m b n = (m/n) log |а| |b|
    где а, b > 0, а ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

    а log с b = b log с а
    где а, b, с > 0 и а, b, с ≠ 1

    Чтобы показать справедливость четвертого равенства прологарифмируем левую и правую часть по основанию а. Получим log а (а log с b) = log а (b log с а) или log с b = log с а · log а b; log с b = log с а · (log с b / log с а); log с b = log с b.

    Мы доказали равенство логарифмов, значит, равны и выражения, стоящие под логарифмами. Формула 4 доказана.

    Пример 1.

    Вычислите 81 log 27 5 log 5 4 .

    Решение.

    81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

    log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Следовательно,

    log 27 5 · log 5 4 = 1/3 log 3 5 · (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

    Тогда 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

    Самостоятельно можно выполнить следующее задание.

    Вычислить (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) — log 0,2 5.

    В качестве подсказки 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

    Ответ: 5.

    Пример 2.

    Вычислите (√11) log
    √3
    9- log 121 81 .

    Решение.

    Выполним замену выражений: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

    121 = 11 2 , 81 = 3 4 , log 121 81 = 2 log 11 3 (использовалась формула 3).

    Тогда (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / (11 log 11 3) = 121/3.

    Пример 3.

    Вычислите log 2 24/ log 96 2- log 2 192 / log 12 2.

    Решение.

    Логарифмы, содержащиеся в примере, заменим логарифмами с основанием 2.

    log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 · 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

    log 2 192 = log 2 (2 6 · 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

    log 2 24 = log 2 (2 3 · 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

    log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 · 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

    Тогда log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/(2 + log 2 3)) =

    = (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

    После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим число 3. (При упрощении выражения можно log 2 3 обозначить через n и упрощать выражение

    (3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

    Ответ: 3.

    Самостоятельно можно выполнить следующее задание:

    Вычислить (log 3 4 + log 4 3 + 2) · log 3 16 · log 2 144 3
    .

    Здесь необходимо сделать переход к логарифмам по основанию 3 и разложение на простые множители больших чисел.

    Ответ:1/2

    Пример 4.

    Даны три числа А = 1/(log 3 0,5), В = 1/(log 0,5 3), С = log 0,5 12 – log 0,5 3. Расположите их в порядке возрастания.

    Решение.

    Преобразуем числа А = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; С = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

    Сравним их

    log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 и log 0,5 3

    Или -2

    Ответ. Следовательно, порядок размещения чисел: С; А; В.

    Пример 5.

    Сколько целых чисел расположено на интервале (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

    Решение.

    Определим между какими степенями числа 3 находится число 1 / 16 . Получим 1 / 27

    Так как функция у = log 3 х – возрастающая, то log 3 (1 / 27)

    log 6 48 = log 6 (36 · 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Сравним log 6 (4 / 3) и 1 / 5 . А для этого сравним числа 4 / 3 и 6 1/5 . Возведём оба числа в 5 степень. Получим (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243

    log 6 (4 / 3)

    Следовательно, интервал (log 3 1 / 16 ; log 6 48) включает в себя промежуток [-2; 4] и на нём размещаются целые числа -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

    Ответ: 7 целых чисел.

    Пример 6.

    Вычислите 3 lglg 2/ lg 3 — lg20.

    Решение.

    3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

    Тогда 3 lglg2/lg3 — lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

    Ответ: -1.

    Пример 7.

    Известно, что log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = А. Найдите log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

    Решение.

    Числа (√3 + 1) и (√3 – 1); (√6 – 2) и (√6 + 2) – сопряжённые.

    Проведем следующее преобразование выражений

    √3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

    √6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

    Тогда log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

    Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

    2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – А.

    Ответ: 2 – А.

    Пример 8
    .

    Упростите и найдите приближенное значение выражения (log 3 2 · log 4 3 · log 5 4 · log 6 5 · … · log 10 9.

    Решение.

    Все логарифмы приведём к общему основанию 10.

    (log 3 2 · log 4 3 · log 5 4 · log 6 5 · … · log 10 9 = (lg 2 / lg 3) · (lg 3 / lg 4)· (lg 4 / lg 5) · (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010. (Приближенное значение lg 2 можно найти с использованием таблицы, логарифмической линейки либо калькулятора).

    Ответ: 0,3010.

    Пример 9
    .

    Вычислить log а 2 b 3 √(a 11 b -3), если log √ а b 3 = 1. (В этом примере, а 2 b 3 – основание логарифма).

    Решение.

    Если log √ а b 3 = 1, то 3/(0,5 log а b = 1. И log а b = 1/6.

    Тогда log а 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log а 2 b 3 (a 11 b -3) = log а (a 11 b -3) / (2log а (a 2 b 3)) = (log а a 11 + log а b -3) / (2(log а a 2 + log а b 3)) = (11 – 3log а b) / (2(2 + 3log а b)) Учитывая то, что log а b = 1/6 получим (11 – 3 · 1 / 6) / (2(2 + 3 · 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

    Ответ: 2,1.

    Самостоятельно можно выполнить следующее задание:

    Вычислить log √3 6 √2,1, если log 0,7 27 = а.

    Ответ: (3 + а) / (3а).

    Пример 10.

    Вычислить 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

    Решение.

    6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 · 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 · (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 · (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.

    (2 log 13 3 = 3 log 13 2 (формула 4))

    Получим 9 + 6 = 15.

    Ответ: 15.

    Остались вопросы? Не знаете, как найти значение логарифмического выражения?
    Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
    Первый урок – бесплатно!

    сайт,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. $$ log_{x+4} 32=5 $$

    [посмотреть решение]

    Решите уравнение $$ log_2 (5+4x)=log_2 (1-4x)+1 $$

    [посмотреть решение]

    Решите уравнение $$ 6^{1+3x}=0.6cdot 10^{1+3x} $$

    [посмотреть решение]

    Решите уравнение $$ sqrt{frac{5}{11-2x}}=frac{1}{11} $$

    [посмотреть решение]

    Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней. $$ frac{x-3}{7x+6}=frac{x-3}{5x-12} $$

    [посмотреть решение]

    Решите уравнение $$ (x-8)^2=(x+9)^2 $$

    [посмотреть решение]

    Найдите корень уравнения $$ sqrt[3]{x+6}=2 $$

    [посмотреть решение]

    Найдите корень уравнения $$ 3^{7-x}=3 $$

    [посмотреть решение]

    Найдите корень уравнения $$ (x+4)^3=8 $$

    [посмотреть решение]

    Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. $$ dfrac{23x}{x^2-24}=1 $$

    [посмотреть решение]

    Условие

    Найдите корень уравнения log_6(5x+27)=log_6(3+x)+1.

    Показать решение

    Решение

    log_6(5x+27)=log_6(3+x)+log_66,

    log_6(5x+27)=log_6(6cdot(3+x)),

    log_6(5x+27)=log_6(18+6x),

    5x+27=18+6x,

    x=9.

    Проверка:

    log_6(5cdot9+27)=log_6(3+9)+1,

    log_672=log_612+1,

    log_672=log_672.

    x=9 — корень уравнения.

    Ответ

    9

    Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

    Рассказать друзьям

    ВКонтакте

    Одноклассники

    Facebook

    Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

    Комментарии

    Задавайте ваши вопросы и помогайте друг другу в решении задач

    Комментарии содержащие в себе рекламу, нецензурную лексику и не относящиеся к тематике сайта будут удалены

    Лучшие репетиторы для сдачи ЕГЭ

    Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое уравнение.
    Программа для решения логарифмического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное
    решение с пояснениями
    , т.е. отображает процесс получения ответа.

    Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
    экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
    А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
    сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
    решением.

    Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
    образования в области решаемых задач повышается.

    Вы можете посмотреть теорию о логарифмической функции и логарифмах и
    некоторые методы решения логарифмических уравнений.

    Примеры подробного решения >>

    ln(b) или log(b) или log(e,b)— натуральный логарифм числа b
    log(10,b) — десятичный логарифм числа b
    log(a,b) — логарифм b по основанию a
    Введите логарифмическое уравнение

    Наши игры, головоломки, эмуляторы:

    Логарифмическая функция. Логарифмы

    Задача 1. Найти положительный корень уравнения x4 = 81
    По определению арифметического корня имеем ( x = sqrt[4]{81} = 3 )

    Задача 2. Решить уравнение 3x = 81
    Запишем данное уравнение так: 3x = 34, откуда x = 4

    В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени. Способ решения задачи 2 состоял в том,
    что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним и тем же основанием 3.
    Но уже, например, уравнение 3x = 80 таким способом решить не удаётся. Однако это уравнение имеет корень.
    Чтобы уметь решать такие уравнения, вводится понятие логарифма числа.
    Уравнение ax = b, где a > 0, ( a neq 1 ), b > 0, имеет единственный корень. Этот корень называют
    логарифмом числа b no основанию a и обозначают logab
    Например, корнем уравнения 3x = 81 является число 4, т.е. log381 = 4.

    Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0, ( a neq 1 ), называется показатель степени,
    в которую надо возвести число a, чтобы получить b

    Например:

    log28 = 3, так как 23 = 8

    ( log_3 frac{1}{9} = -2 ), так как ( 3^{-2} = frac{1}{9} )

    log77 = 1, так как 71 = 7

    Определение логарифма можно записать так:

    $$ a^{log_a b} = b $$

    Это равенство справедливо при b > 0, b > 0, ( a neq 1 ). Его обычно называют основным логарифмическим тождеством.

    Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
    Действие нахождения числа по его логарифму называют потенцированием.

    Вычислить log64128
    Обозначим log64128 = х. По определению логарифма 64x = 128. Так как 64 = 26, 128 = 27,
    то 2 6x = 27, откуда 6x = 7, х = 7/6.
    Ответ log64128 = 7/6

    Вычислить ( 3^{-2log_3 5} )
    Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим

    $$ 3^{-2log_3 5} = left( 3^{log_3 5} right)^{-2} = 5^{-2} = frac{1}{25}$$

    Решить уравнение log3(1-x) = 2
    По определению логарифма 32 = 1 — x, откуда x = -8

    Свойства логарифмов

    При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются
    различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

    Пусть а > 0, ( a neq 1 ), b > 0, c > 0, r — любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

    1) loga(bc) = logab + logac

    2) ( log_a frac{b}{c} = log_a b — log_a c )

    3) logabr = r logab

    Десятичные и натуральные логарифмы

    Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы (таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью микрокалькулятора.
    И в том и в другом случае находятся только десятичные или натуральные логарифмы.

    Определение. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут
    lg b вместо log10b

    Определение. Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e — иррациональное число,
    приближённо равное 2,7. При этом пишут ln b вместо logeb

    Иррациональное число e играет важную роль в математике и её приложениях. Число e можно представить как сумму:
    $$ e = 1 + frac{1}{1} + frac{1}{1 cdot 2} + frac{1}{1 cdot 2 cdot 3} + dots + frac{1}{1 cdot 2 cdot 3 cdot dots cdot n} + dots $$

    или

    $$ e = sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} $$

    $$ e approx 2,7182818284 $$

    Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить логарифмы
    чисел по любому основанию.
    Для этого используется формула замены основания логарифма:

    $$ log_a b = frac{log_c b}{log_c a} $$

    где b > 0, a > 0, ( a neq 1 ), c > 0, ( c neq 1 )

    Следствия из формулы замены основания логарифма.
    При c = 10 и c = e получаются формулы перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
    $$ log_a b = frac{lg b}{lg a} , ;; log_a b = frac{ln b}{ln a} $$

    Логарифмическая функция, её свойства и график

    В математике и её приложениях часто встречается логарифмическая функция
    y = logax
    где а — заданное число, a > 0, ( a neq 1 )

    Логарифмическая функция обладает свойствами:

    1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.

    2) Множество значений логарифмической функции — множество всех действительных чисел.

    3) Логарифмическая функция не является ограниченной.

    4) Логарифмическая функция y = logax является возрастающей на промежутке ( (0; +infty) ), если a > 1,
    и убывающей, если 0
    5) Если a > 1, то функция y = logax принимает положительные значения при х > 1,
    отрицательные при 0
    Если 0 ax принимает положительные значения при 0
    отрицательные при х > 1.

    Ось Oy является вертикальной асимптотой графика функции y = logax


    Отметим, что график любой логарифмической функции y = logax проходит через точку (1; 0).
    При решении уравнений часто используется следующая теорема:

    Теорема. Если logax1 = logax2 где a > 0, ( a neq 1 ),
    x1 > 0, x2 > 0, то x1 = x2

    Логарифмическая функция y = logax и показательная функция y = ax, где a > 0, ( a neq 1 ), взаимно обратны.

    Логарифмические уравнения

    Решить уравнение log2(x+1) + log2(x+3) = 3
    Предположим, что х — такое число, при котором равенство является верным, т.е. х — корень уравнения. Тогда по свойству логарифма
    верно равенство
    log2((x+1)(x+3)) = 3
    Из этого равенства по определению логарифма получаем
    (x+1)(x+3) = 8

    х2 + 4х + 3 = 8, т.е. х2 + 4x — 5 = 0, откуда x1 = 1, х2 = -5
    Так как квадратное уравнение является следствием исходного уравнения, то необходима проверка.
    Проверим, являются ли числа 1 и -5 корнями исходного уравнения.
    Подставляя в левую часть исходного уравнения х = 1, получаем
    log2(1+1) + log2(1+3) = log22 + log24 = 1 + 2 = 3, т.е. х = 1 — корень уравнения.
    При х = -5 числа х + 1 и х + 3 отрицательны, и поэтому левая часть уравнения не имеет смысла, т.е. х = -5 не является корнем этого
    уравнения.
    Ответ x = 1

    Решить уравнение lg(2x2 — 4x + 12) = lg x + lg(x+3)
    По свойству логарифмов
    lg(2x2 — 4x + 12) = lg(x2 + 3x)
    откуда
    2x2 — 4x + 12 = x2 + 3x
    x2 — 7x + 12 = 0
    x1 = 3, х2 = 4
    Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
    Ответ x1 = 3, х2 = 4

    Решить уравнение log4(2x — 1) • log4x = 2 log4(2x — 1)
    Преобразуем данное уравнение:
    log4(2x — 1) • log4x — 2 log4(2x — 1) = 0
    log4(2х — 1) • (log4 x — 2) = 0
    Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения к нулю, получаем:
    1) log4 (2х — 1) = 0, откуда 2х — 1 = 1, х1 = 1
    2) log4 х — 2 = 0, откуда log4 = 2, х2 = 16
    Проверка показывает, что оба значения х являются корнями исходного уравнения.
    Ответ x1 = 1, х2 = 16


    1. Вспоминай формулы по каждой теме


    2. Решай новые задачи каждый день


    3. Вдумчиво разбирай решения

    Логарифмическое уравнение – уравнение, содержащее переменную (x) в основании и/или аргументе логарифма.

    Стандартное логарифмическое уравнение:

    [{large{log_a{f(x)}=log_a{g(x)} quad Leftrightarrow quad
    begin{cases}
    f(x)=g(x)
    f(x)>0 (text{или }g(x)>0)
    end{cases}}}]

    где (a>0, ane 1).

    Некоторые важные формулы:

    (0) при (a>0, ane 1, b>0) выполняется основное логарифмическое тождество [{large{a^{log_ab}=b}}]

    (1) при (a>0, ane 1) [{large{log_a1=0, qquad
    log_aa=1}}]

    (2) при (a>0, ane 1, b>0) [{large{log_{a^n}{b^m}=frac mnlog_ab}}]

    при четных (m) и (n) и (ane 0, ane 1, bne 0) [{large{log_{a^n}{b^m}=dfrac mnlog_{|a|}{|b|}}}]

    (3) при (a>0, ane 1, b>0, c>0) [{large{b^{log_ac}=c^{log_ab}}}]

    (4) при (a>0, ane 1, bc>0) [{large{log_a{bc}=log_a{|b|}+log_a{|c|} qquad log_a{dfrac
    bc}=log_a{|b|}-log_a{|c|}}}]

    (5) при (a>0, ane 1, b>0, bne 1, c>0) [{large{log_abcdot log_bc=log_ac Longleftrightarrow
    log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}}}]


    Задание
    15

    #422

    Уровень задания: Равен ЕГЭ

    Найдите корень уравнения (log_{frac{2}{7}}(x + 12) = -2).

    ОДЗ: (x + 12 > 0) , что равносильно (x > -12). Решим на ОДЗ:

    По определению логарифма (log_{frac{2}{7}}(x + 12)) – показатель степени, в которую нужно возвести (dfrac{2}{7}), чтобы получить (x + 12), откуда заключаем: [left(dfrac{2}{7}right)^{-2} = x + 12qquadLeftrightarrowqquad 3,5^2 = x + 12qquadLeftrightarrowqquad x = 0,25] – подходит по ОДЗ.

    Ответ: 0,25


    Задание
    16

    #423

    Уровень задания: Равен ЕГЭ

    Найдите корень уравнения (log_{frac{5}{9}}(3 — x) = -1).

    ОДЗ: (3 — x > 0) , что равносильно (x < 3). Решим на ОДЗ:

    По определению логарифма (log_{frac{5}{9}}(3 — x)) – показатель степени, в которую нужно возвести (dfrac{5}{9}), чтобы получить (3 — x), откуда заключаем: [left(dfrac{5}{9}right)^{-1} = 3 — xqquadLeftrightarrowqquad 1,8 = 3 — xqquadLeftrightarrowqquad x = 1,2] – подходит по ОДЗ.

    Ответ: 1,2


    Задание
    17

    #424

    Уровень задания: Равен ЕГЭ

    Найдите корень уравнения (log_{frac{1}{sqrt{2}}}(2 + 2x) = -4).

    ОДЗ: (2 + 2x > 0) , что равносильно (x > -1). Решим на ОДЗ:

    По определению логарифма (log_{frac{1}{sqrt{2}}}(2 + 2x)) – показатель степени, в которую нужно возвести (dfrac{1}{sqrt{2}}), чтобы получить (2 + 2x), откуда заключаем: [left(dfrac{1}{sqrt{2}}right)^{-4} = 2 + 2xqquadLeftrightarrowqquad (sqrt{2})^4 = 2 + 2xqquadLeftrightarrowqquad 4 = 2 + 2xqquadLeftrightarrowqquad x = 1] – подходит по ОДЗ.

    Ответ: 1


    Задание
    18

    #428

    Уровень задания: Равен ЕГЭ

    Найдите корень уравнения (log_{7}(5 — 3x) = 3log_{7}2).

    ОДЗ: (5 — 3x > 0) , что равносильно (x < dfrac{5}{3}). Решим на ОДЗ:

    По свойству логарифма исходное уравнение равносильно (log_{7}(5 — 3x) = log_{7}(2^3)). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно (5 — 3x = 8) , что равносильно (x = -1) – подходит по ОДЗ.

    Ответ: -1


    Задание
    19

    #429

    Уровень задания: Равен ЕГЭ

    Найдите корень уравнения (log_{sqrt{5}}(2x + 15) = 4log_{sqrt{5}}2).

    ОДЗ: (2x + 15 > 0) , что равносильно (x > -7,5). Решим на ОДЗ:

    По свойству логарифма исходное уравнение равносильно (log_{sqrt{5}}(2x + 15) = log_{sqrt{5}}(2^4)), что равносильно (log_{sqrt{5}}(2x + 15) = log_{sqrt{5}}16). Последнее уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно (2x + 15 = 16), что равносильно (x = 0,5) – подходит по ОДЗ.

    Ответ: 0,5


    Задание
    20

    #435

    Уровень задания: Равен ЕГЭ

    Найдите корень уравнения (log_{3}(2x + 1) = log_{3}(3 — x) + 1).

    ОДЗ: (2x + 1 > 0) и (3 — x > 0), что равносильно (-0,5 < x < 3). Решим на ОДЗ:

    Исходное уравнение равносильно (log_{3}(2x + 1) = log_{3}(3 — x) + log_3 3), что равносильно (log_{3}(2x + 1) = log_{3}((3 — x)cdot 3)). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно (2x + 1 = 9 — 3x), что равносильно (x = 1,6) – подходит по ОДЗ.

    Ответ: 1,6


    Задание
    21

    #436

    Уровень задания: Равен ЕГЭ

    Найдите корень уравнения (log_{5}(15x + 25) = log_{5}(x — 25) + 2).

    ОДЗ: (15x + 25 > 0) и (x — 25 > 0), что равносильно (x > 25). Решим на ОДЗ:

    Исходное уравнение равносильно (log_{5}(15x + 25) = log_{5}(x — 25) + log_{5}25), что равносильно (log_{5}(15x + 25) = log_{5}((x — 25)cdot 25)). Данное уравнение имеет стандартный вид, оно равносильно (15x + 25 = 25x — 625), откуда (x = 65) – подходит по ОДЗ.

    Ответ: 65

    6 5log6 3 решу егэ

    Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике

    Кайф или жесть? Новая шкала перевода баллов ЕГЭ 2022 по математике